Muestran que una integral definida, se desvanece para todos los valores de $a,b,c > 0$.

Question

Mostrar $$\int_0^\infty \int_0^\infty \frac{(ax-by) {\rm e}^{-x} {\rm e}^{-y}}{(a^2 x + b^2 y + c x y)^{\frac{3}{2}}} \,dx \,dy = 0$$ for any $a,b,c > 0$.

I came upon the above double integral when simplifying an expression for a probability density function. How can I demonstrate that the integral is zero for any positive constants, $$, $b$ and $c$?

I've verified the result numerically. At the moment it seems rather fascinating to me that the integral should always be zero given the presence of three free variables, and I would expect there to be a relatively simple derivation.

I've tried all sorts of approaches (integral substitutions including polar coordinates, differentiating under the integral, splitting the domain of integration into pieces) without seeming to make progress.

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To answer Ali's comment, below I give my crude Matlab code for evaluating the double integral (with the trapezoidal rule) and one output. Regardless of what positive values of $$,$b$,$c$ puse, me sale algo bastante cercano a cero, para mi gusto.

La salida del programa:

double_int = getDoubleInt(2,3,4)

double_int =
            -6.1549e-010

Código del programa:

function double_int = getDoubleInt(a,b,c)

x_max = 25;
y_max = 25;
NN_x = 1000;
NN_y = 1000;

x_vec = logspace(log10(x_max/10^10),log10(x_max),NN_x);

y_vec = logspace(log10(y_max/10^10),log10(y_max),NN_y);

XX = x_vec'*ones(1,NN_y);

YY = ones(NN_x,1)*y_vec;

ZZ = (a*XX-b*YY)./(a^2*XX+b^2*YY+c*XX.*YY).^(3/2).*exp(-XX).*exp(-YY);

int_1 = zeros(size(x_vec));

for i = 1:NN_x

int_1(i) = trapz(y_vec,ZZ(i,:));

end

double_int = trapz(x_vec,int_1);

Answer 1

El resultado es sorprendente, porque uno podría pensar que la combinación con el exponenciales sería demasiado complicado realizar la integral se desvanecen para todos los $a,b,c$. Sin embargo, la exponenciales no entrar en él, ya que la integral a lo largo de cada línea con suma constante $x+y$ es cero, y el factor exponencial es constante en estas líneas. Considere la posibilidad de

$$ x=u+v\;, \\ y=u-v\;, $$

que, hasta un factor constante de la Jacobiana, transforma la integral en

$$\int_0^\infty\mathrm du\mathrm e^{-2u}\int_{-u}^u\mathrm dv\frac{a(u+v)-b(u-v)}{\left(a^2(u+v)+b^2(u-v)+c(u^2-v^2)\right)^{3/2}}\;.$$

El interior de la integral es fácilmente realizado; Wolfram|Alpha da

$$\int_0^\infty\mathrm du\mathrm e^{-2u}\frac2{(a-b)^2+2cu}\left[\frac{a(u+v)+b(u-v)}{\sqrt{a^2(u+v)+b^2(u-v)+c(u^2-v^2)}}\right]_{v=-u}^{v=u}\;,$$

y el resultado es $0$ desde la antiderivada toma el mismo valor en$u$$-u$.

Answer 2

Mediante la sustitución de $$ r\frac{1+t}{1-t}=\frac1r\frac{1+s}{1-s} $$ mapas de $[-1,1]\mapsto[-1,1]$, y ha demostrado ser útil en varias situaciones similares a esta. Algunas fórmulas pertinentes para esta sustitución se $$ \frac{\mathrm{d}t}{1-t^2}=\frac{\mathrm{d}s}{1-s^2} $$ $$ \frac{r(1+t)+\frac1r(1-t)}{1-t^2}=\frac{\frac1r(1+s)+r(1-s)}{1-s^2} $$ $$ \frac{r(1+t)-(1-t)}{\sqrt{1-t^2}}=\frac{(1+s)-r(1-s)}{\sqrt{1-s^2}} $$ El cambio de las variables de $u=x+y$$v=x-y$,$v=ut$: $$ \begin{align} &\int_0^\infty\int_0^\infty\frac{(ax-by)\,\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{e}^{-y}}{(a^2 x + b^2 y + c x y)^{\frac{3}{2}}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\\[6pt] &=2\int_0^\infty\int_{-u}^u\frac{(a-b)u+(a+b)v}{\left(cu^2-cv^2+2(a^2+b^2)u+2(a^2-b^2)v\right)^{3/2}}\,\mathrm{e}^{-u}\,\mathrm{d}v\,\mathrm{d}u\\[6pt] &=2\int_0^\infty\int_{-1}^1\frac{(a-b)+(a+b)t}{\left(cu^2(1-t^2)+2u(a^2(1+t)+b^2(1-t))\right)^{3/2}}\,\mathrm{d}t\,\mathrm{e}^{-u}u^2\,\mathrm{d}u\tag{1} \end{align} $$ Mediante la sustitución de $\frac{a}{b}\frac{1+t}{1-t}=\frac{b}{a}\frac{1+s}{1-s}$ $(1)$ rendimientos $$ 2\int_0^\infty\int_{-1}^1\frac{(b-a)+(a+b)s}{\left(cu^2(1-s^2)+2u(b^2(1+s)+a^2(1-s))\right)^{3/2}}\,\mathrm{d}s\,\mathrm{e}^{-u}u^2\,\mathrm{d}u $$ La sustitución de $w=-s$ rendimientos $$ -2\int_0^\infty\int_{-1}^1\frac{(a-b)+(a+b)w}{\left(cu^2(1-s^2)+2u(a^2(1+w)+b^2(1-w))\right)^{3/2}}\,\mathrm{d}w\,\mathrm{e}^{-u}u^2\,\mathrm{d}u\tag{2} $$ Desde $(1)$ $(2)$ son iguales, sin embargo, los negativos, que son tanto $0$.

Answer 3

Tome $a=c=1$ $b$ muy pequeño.