Disco de Teichmuller y $\mathrm{SL}_2\mathbb{R}$ acción

Question

Dejemos que $(X,\omega)$ sea una superficie de Riemann de género $g$ con la forma 1 holomorfa $\omega$ (o, en su defecto, una estructura de traducción). Sea $\Omega\mathcal{T}_g$ sea el espacio de las formas holomorfas 1 sobre el género $g$ superficie. El famoso $\mathrm{SL}_2\mathbb{R}$ acción sobre $\Omega\mathcal{T}_g$ se define componiendo cada gráfico de coordenadas de $(X,\omega)$ con matrices en $\mathrm{SL}_2\mathbb{R}$ . Se afirma que al descender a $\mathbb{H}$ y $\mathcal{T}_g$ de su haz tangente/cotangente, el $\mathrm{SL}_2\mathbb{R}$ acción incrusta el plano hiperbólico $\mathbb{H}$ isométricamente en el espacio de Teichmuller $\mathcal{T}_g$ del género $g$ .

Algunas cosas que he aprendido hasta ahora:

• $\mathrm{PSL}_2\mathbb{R}$ se identifica con $T^1\mathbb{H}$ eligiendo $(i,i)\in T^1\mathbb{H}$ para la matriz de identidad. Para cualquier $g\in \mathrm{PSL}_2\mathbb{R}$ identificado con $(x,v)\in T^1\mathbb{H}$ , $ga_t$ traza la geodésica en $\mathbb{H}$ de paso $x$ con el vector tangente $v$ . (Actualización: esta parte se explica con más detalle en la respuesta de DMG).
• Dejemos que $a_t:=\begin{pmatrix}e^{t/2}&0\\ 0&e^{-t/2} \end{pmatrix}, t\in\mathbb{R}$ . La acción de $a_t$ estira la dirección horizontal y encoge la dirección vertical de $(X,\omega)$ . Por el teorema de Teichmuller, $a_t\cdot (X,\omega)$ traza la geodésica en $\mathcal{T_g}$ de paso $X$ con marcado $id_X$ comme $t$ varía.

Por tanto, si la incrustación viene dada por la identificación de $T^1\mathbb{H}$ con $\mathrm{PSL}_2\mathbb{R}\cdot (X_0,\omega_0)$ arriba, la curva $t\mapsto a_tg$ en $T^1\mathbb{H}$ se envía a la geodésica $t\mapsto a_t\cdot (X,\omega)$ en $\mathcal{T}_g$ dado que $(X,\omega)=g\cdot (X_0,\omega_0)$ . Sin embargo, la primera curva $t\mapsto a_tg$ NO es la geodésica sino una escala del número complejo $x$ al que $g$ se identifica con. El hecho de que una no-geodésica sea enviada a una geodésica contradice la afirmación de que la incrustación de $\mathbb{H}$ es isométrico.

¿Dónde se equivoca mi argumento? ¿O es que definimos la identificación de $\mathbb{H}$ con $\mathrm{SO(2)}\backslash \mathrm{SL}_2\mathbb{R}\cdot (X_0,\omega_0)$ ¿De forma diferente?

El mismo puesto en MO https://mathoverflow.net/questions/303017/teichmueller-disk-and-the-mathrmsl-2-mathbbr-action?noredirect=1#comment755009_303017

Agradecería mucho cualquier ayuda. Gracias de antemano.

Answer 1

La identificación de $PSL_2(\mathbb{R})$ y $T^1 \mathbb{H}$ se deriva del hecho de que para cualquier $(x, v) \in T^1 \mathbb{H}$ existe una única transformación de Moebius $M \in PSL_2(\mathbb{R})$ enviando el eje imaginario en $\mathbb{H}$ a la geodésica $A_{M}$ de paso $x$ con dirección $v$ en $x$ . Para decirlo en pocas palabras: $PSL_2(\mathbb{R})$ actúa simplemente de forma transitoria sobre $T^1 \mathbb{H}$ . Esto da la biyección $PSL_2(\mathbb{R})(i,i) \leftrightarrow T^1\mathbb{H}$ . La notación $(i,i)$ significa que el punto $i \in \mathbb{H}$ en el primer factor, y el vector unitario basado en $i$ y tangente al eje imaginario en el segundo factor.

Bajo esta identificación, la acción del flujo geodésico $g_t$ en $T^1 \mathbb{H}$ corresponde a la multiplicación por la derecha en $PSL_2(\mathbb{R})$ por la matriz $a_t:=\begin{pmatrix} e^{t/2} & 0 \\ 0 & e^{-t/2} \end{pmatrix}$ es decir si $M \in PSL_2(\mathbb{R})$ está representado por $(x,v)$ en $T^1 \mathbb{H}$ bajo la anterior biyección, entonces

$$g_t \cdot (x,v)=Ma_t.$$

He aquí la razón: $a_t$ corresponde a una transformación hiperbólica con eje de traslación el eje imaginario, y con distancia de traslación exactamente $t$ . Bajo la biyección, estamos haciendo $(Ma_t) \cdot (i,i) = M \cdot (a_t \cdot (i,i))$ es decir primero trasladamos a lo largo del eje imaginario una distancia $t$ (fluimos a lo largo del eje imaginario), y luego enviamos el eje imaginario a la geodésica determinada por $(x,v)$ por la isometría $M$ que denominamos $A_M$ . Como las isometrías preservan las distancias, el punto de la imagen es la traslación de $(x,v)$ a lo largo de la geodésica $A_M$ a distancia $t$ es decir, la acción del flujo geodésico.

Como observación final, nótese que la elección de la familia de matrices $a_t$ depende de la elección del punto base (en nuestro caso, el punto base es $(i,i)$ ).

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Editar:

Ahora discutimos la acción de $SL_2(\mathbb{R})$ en $\Omega \cal{T}_{g,n}$ .

Arreglar $(X_0,\omega_0)$ , donde $X_0$ es una estructura conforme en $S_{g,n}$ y $\omega_0$ es una diferencial cuadrática holomorfa en $X_0$ . $\omega_0$ da las coordenadas normales de la diferencial cuadrática $\omega_0$ en $X_0$ (fuera de los ceros de $\omega_0$ ). El elemento $B \in SL_2(\mathbb{R})$ puede interpretarse como un mapa afín en estas coordenadas. $B \cdot (X_0, \omega_0)=(X_0,\omega_B)$ . Los datos $\mathcal{X}_B=[(X_0,\omega_B),id]$ da un punto en el espacio de Teichmueller con la marca de la identidad, donde entendemos $\omega_B$ da una nueva estructura conforme en $X_0$ en componiendo el parche de coordenadas normales con el mapa afín $B$ y completando la estructura compleja en los ceros de $\omega_B$ por el teorema de la singularidad extraíble. Esto da lugar a un mapa cuasi-conforme $f : \mathcal{X}_0 \to \mathcal{X}_B$ y una diferencial cuadrática terminal $\omega_B$ . Si $B \in SO(2)$ , entonces el marcado $f : \mathcal{X}_0 \to \mathcal{X}_B$ es conforme, por lo que obtenemos el mismo punto en el espacio de Teichmueller. Así, la acción desciende a una acción fiel de $SL_2(\mathbb{R})/SO(2)$ en $ \cal{T}_{g,n}$ . Afirmamos que esta acción descendente de $SL_2(\mathbb{R})/SO(2)$ en $\cal{T}_{g,n}$ produce una inyección isométrica $SL_2(\mathbb{R})/SO(2)(X_0,\omega_0) \to \cal{T}_{g,n}$ . Es fácil comprobar que cualquier matriz $A \in SL_2(\mathbb{R})$ con $A \notin SO(2)$ puede escribirse como $A=U D_K V$ donde $U,V \in SO(2)$ y $D_K=\begin{pmatrix} \sqrt{K} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{K}} \end{pmatrix}$ y $K>1$ . La distancia de Teichmuller entre $\mathcal{X}_0$ y $\mathcal{X}_{D_K}$ viene dada por el $\log K$ donde $K$ es el mínimo de la dilatación cuasi-conforme, que se realiza mediante el mapa afín descrito en la construcción anterior. Más generalmente, para calcular la distancia entre $\mathcal{X}_A$ y $\mathcal{X}_B$ podemos tomar el punto base en $(X_0, \omega_B)$ y descomponer $AB^{-1} = U_1 D_K U_2$ . Por último, podemos demostrar que la incrustación $SL_2(\mathbb{R})/SO(2)(X_0,\omega_0) \to \cal{T}_{g,n}$ es isométrica, utilizando la biyección con $\mathbb{H}$ y observando que si $\rho$ denota la distancia hiperbólica en $\mathbb{H}$ entonces $\rho(A(i),B(i))=\rho(AB^{-1}(i),i)=\rho(D_K(i),i)=\log(K)$ que es la misma que la distancia de Teichmueller calculada anteriormente.

Answer 2

He encontrado una respuesta a mi pregunta con la que estoy satisfecho al estudiar el documento original de Veech: Curvas de Teichmuller en el espacio de moduli, series de Eisenstein y una aplicación al billar triangular . Consideró dos acciones sobre $\Omega \mathcal{T}_g$ . Uno es el $PSL_2(\mathbb{R})$ acción de la izquierda mencionada anteriormente, y la otra es una acción de $Aff^+(X,\omega)$ el grupo de homeomorfismos afines que conservan la orientación desde la derecha. Aunque el grupo Veech $SL(X,\omega)$ podría definirse como estabilizador de $PSL_2(\mathbb{R})$ acción o la imagen del diferencial $D:Aff^+(X,\omega)\rightarrow PSL_2(\mathbb{R})$ el flujo geodésico en $\Omega\mathcal{T}_g$ debería definirse realmente como la acción correcta de $\phi_t\in Aff^+(X,\omega)$ cuya derivada $D\phi_t=a_t$ en lugar de la multiplicación por la izquierda por $a_t$ . Lo primero es exactamente lo que hizo Veech en su artículo. Sin embargo, el estudio que leí definía el flujo geodésico de la segunda manera y me confundió este punto técnico.