Cantidad de elementos en el conjunto$A=\{x\in\mathbb{R}|f(x)=1\}$.

Question

Deje$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},f(x)=3^{x^3-3x}-3^{x+1}+x^3-4x$ y$A=\{x\in\mathbb{R}|f(x)=1\}$ si$|A|=$ número de elementos en A, luego$|A|=?$.

Probé la diferenciación y obtuve$$f'(x)=(3x^2-3)3^{x^3-3x}\ln(3)-3^{x+1}\ln(3)+3x^2-4$ $

Sin embargo, tratar de encontrar un máximo o un mínimo a partir de esta expresión es realmente difícil ... entonces debe haber alguna manera inteligente de ver también$f$ algo con la composición de las funciones$2$? alguna indirecta?

Answer 1

$$3^{x^3-3x}-3^{x+1}+x^3-3x-x=1$ $ puede volver a escribirse como$$3^{X}+X=3^{Y}+Y$ $ donde$X=x^3-3x$ y$Y=x+1$.

Ahora la función$x\mapsto 3^x+x$ es estrictamente creciente, por lo tanto, inyectiva, por lo que debemos tener$X=Y$.

Entonces, la respuesta es la cantidad de soluciones para$x^3-3x=x+1$. ¿Puedes tomarlo desde aquí?