¿Cómo la cuadratura de ambos lados de una ecuación conduce a soluciones extrañas?

Question

Digamos que tengo $x = x + 1$, que es una declaración falsa real $x$; ¿por qué puedo resolver de verdad $x$ cuando cuadrado ambos lados de la ecuación, dando el $x^2=(x+1)^2$?

Answer 1

Si$f$ es cualquier función, entonces$a=b$ implica$f(a)=f(b)$, pero no al revés.

Answer 2

He visto esto antes en el ejemplo siguiente

podemos demostrar que $$4=6$$

restar $5$ de ambas ecuaciones tenemos

$$-1=1$$ ahora cuadrado ambos lados tenemos

$$1=1$$

lo cual es cierto.

El problema con el razonamiento es que llegamos $4=6$ IMPLICA que el $1=1$. Pero este proceso no es invertible, por lo tanto, no se puede concluir que $1=1$ implica $4=6$. Por lo tanto, no podemos deducir que $4=6$.

La razón por la que el proceso es invertible, es que no existe la función inversa al cuadrado de la función. No hay ninguna función de tomar $x$ a un único $y$ tal que $y^2=x$ debido a que para cada una de dichas $x$ existe dos $y$s '($-y$ es la otra solución satisfactoria que $y^2=x$.

Answer 3

La razón se han introducido soluciones extras es % $ $$(-k)^2\equiv k^2 \space\forall k$

Así: $$x^2=(x+1)^2\not\to x=x+1$ en vez de $: $$x^2=(x+1)^2\to|x|=|x+1|$ $, que puede ser solucionado por $x=-\frac12$

Answer 4

La ecuación de $x=x+1$ de hecho no es cierto para cualquier $x \in \mathbb R$ desde $1 \neq 0$. Cuando usted cuadrado ambos lados, sin embargo, información sobre el signo de cada lado es perdido, lo que conduce a la expresión:

$$x = x+1 \Rightarrow x^2 = (x+1)^2 \Rightarrow \begin{cases} x = x + 1 \ x = -(x+1) \end{cases}$$

Tenga en cuenta cerrar en mi uso de la muestra de $\Rightarrow$ y % no $\Leftrightarrow$. Esto no es una instrucción de expresión que se puede seguir hacia atrás, como arroja dos posibles resultados. En caso de que el primer caso, así como comenzó, la afirmación es falsa. En caso de que el segundo caso, tienes una solución.

Answer 5

Aplicar una función a ambos lados sólo funciona cuando una función es invertible.
En tu caso f (x) = x².
Sin embargo f^-1f (x) = f^-1(x²) no sólo es igual a x y tiene resultado extra - x.

Las soluciones extras son el resultado adicional de funciones inversas.