Intuición física para la solución a$y' = y$.

Question

Suponga que $e^x$ no se ha definido, así que por favor no se refieren a $e$ en una respuesta.

Dado el D. E $y' =ry$, se sustituirán por una potencia de la serie y llegar a la solución:

$$y = \sum_{k =0}^\infty \frac{(rx)^k}{k!} $$

Estoy tratando de obtener una información más precisa intuición física para el mecanismo de este tipo de crecimiento.

Como tal, estoy tratando de comprender intuitivamente el significado de cada término en la expresión de $y$.

Pregunta

¿Cómo se puede interpretar físicamente cada término de la serie infinita en el contexto de la simple proceso de crecimiento por encima?

Answer 1

Supongamos que cada paso $k$ da $x^k$ soluciones. Sin embargo, de los $x^k$ soluciones, no todas son únicas, porque algunos son permutaciones de los demás, o en otras palabras, re-ordenamiento de los demás. Así, si contamos con soluciones que son permutaciones de uno a otro como las mismas soluciones, entonces no se $x^k/k!$ soluciones en cada paso $k$. Esto explica la división por $k!$. https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation#k-permutations_of_n

¿Por qué cada paso de producir $x^k$ soluciones? Asumir su conjunto $S$ $x$ elementos. Si usted se está preguntando cómo muchos de los $k$-sillos hay en $S$, o en cómo muchas formas de organizar $x$s en paquetes de $k$ de ellos, entonces la respuesta es $x^k$. https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation#Permutations_with_repetition

Por lo tanto, si usted pack $x$ elementos en paquetes de $k$, pero no importa de la forma en que los elementos están ordenados en paquetes, entonces usted puede hacer esto a muchos de los paquetes de todas las diferentes longitudes del todo:

$\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$

El hecho de que $x$ no es un entero, en general, es sólo un eco de la extraña posibilidad de que este resultado tiene sentido para cualquier $x\in\mathbb{R}$, e incluso el $x\in\mathbb{C}$.

El recien posibilidad es que el $x$ representa el número de infinidad de elementos. Uno puede formar paquetes de cualquier tamaño, a continuación,. Esto explicaría por qué los $k$ puede abarcar $\mathbb{N}$. Y todavía más raro, la pequeñez de $x$ puede ser explicado como el re-normalización: exprimir toda la $\mathbb{N}$ línea de manera que se convierta $\mathbb{R}$ o, por ejemplo, el intervalo de $\left[0,1\right]$. Esto es posible en la no-estándar de análisis, donde infinitesimals en vivo, números que son menores que cualquier número real positivo. Por lo $x$ es volver normalizado número de elementos de las $S$. Y $S$ tiene una infinidad de elementos discretos, countably muchos si. https://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_analysis

Supongamos que usted ha $x$ de alguna extraña conejos en el cielo, que son hermafroditas: puede actuar como macho y hembra, pero puede criar con ellos mismos, sólo que con otros conejos. Supongamos que todas las razas de conejo con cada otro conejo. Cuántos geneticly diversas descendencia será creado? Bien, usted pack por pares, y no importa si el par (masculino,femenino) o (femenino, masculino), obviamente. De cuántas maneras puede usted pack ellos de esta manera? Bien, $x^2/2!$.

Ahora, lo que si extraño los conejos se reproducen en tríos demasiado, cada una de las posibles trío de la producción de tan sólo 1 descendencia? Usted cuenta de que en el también, y obtener $x^3/3!$ genética de las variedades, si se asume que un bebé conejo puede tener 2 padres. Me dijo que estos conejos son extraños...

Y así sucesivamente. Si se tienen en cuenta todas las posibles variedades, se consigue $e^x$. Número de conejos $x$ tiene que ser infinito para que esto tenga sentido, pero si al pasar del cielo a la Tierra números pasan a ser exprimidos, por lo que el infinito de los números de convertirse en lo finito, esto se convierte en ordinaria habitual $e^x$.

Por lo tanto, si el número de conejos $x$ crece, y que seguramente no después de todo esto, entonces el número de genética de variedades entre conejos, crece como $e^x$ tan raro conejos mantener la reproducción en el cielo.

Para demostrar la manera en que uno puede exprimir un infinito número natural de los conejos $x$ a convertirse en un auténtico número finito $r$, considere la posibilidad de una unidad de intervalo de $\left[ 0,1 \right] $ de los números reales sobre la recta numérica real, y asumir este:

$\bf{Assumption}$: El número de elementos de a $c$ de la unidad de intervalo de $\left[ 0,1 \right] $ es constante.

Esto parece bastante razonable assmuption. ¿Por qué no el número de reales en la unidad de intervalo de ser constante? Hacer números reales multiplicar?

¿Cuál es la distancia mínima entre los números de la unidad de intervalo? Así, la longitud de la unidad de intervalo es $1$, el número de elementos es $c$, lo cual es, obviamente, un número infinitamente grande, y por lo tanto, la distancia mínima de equidistributed, equadistant elementos es la longitud dividida por el número de elelments, $1/c=0$. Por lo tanto, no hay ninguna distancia mínima. Esto es así porque la $\mathbb{R}$ es denso: hay un número real entre cualesquiera dos números reales.

OK, ahora estirar la unidad de intervalo por factor $c$! El nuevo, se extendía intervalo de longitud de $c$. Número de elementos es constante, por lo que todavía se $c$. ¿Cuál es la longitud mínima entre elementos de este intervalo de nuevo? La longitud dividida por el número de elementos es $c/c=1$. La distancia entre dos elementos consecutivos ahora es $1$. Así que, por el estiramiento de la unidad de intervalo de $c$, hemos creado $\mathbb{N}$.

Por lo tanto, cualquier infinitamente grande número natural $x$ es sólo un número real $r$ a partir de la unidad de intervalo, se extendía por $c$, realmente...

Ahora, recién creado $\mathbb{N}$ tiene una unidad de intervalo, así que si nos tramo de esta nueva unidad de intervalo, digamos, $c$, entonces...

Así que, como ves, $e^x$ es una función de cielo...

Esta es una pregunta adecuada para la física de los foros.

Tal vez usted puede encontrar esta respuesta adecuada? Haga clic en like o algo, si lo haces, por favor, necesito 50 reputación con el fin de ser capaz de comentar, y tengo serias dudas... Gracias! :D

Answer 2

Esto puede no ser una respuesta, pero una observación clave es que cada término de la serie es la antiderivada de la vigencia anterior.

Para desarrollar este en un "físico", considera una función inicial que es idéntica a cero, $y(x) = 0$. Digamos que usted desea hacer esta función crecer, y usted consigue la idea de tomar la antiderivada de $y$ (que es una constante arbitraria $r$) y añadir que en a $y$. Esto significa que ahora:

$$y(x) = r$$

Ahora preguntan por qué no pueden seguir haciendo este truco; continuar tomando la antiderivada de $y$ y lo añade a la versión anterior de $y$. Haciendo de nuevo dos veces al da (como es de esperar):

$$y(x) = rx + r\frac{x^2}{2}$$

Haciendo esto "infinidad de veces" nos conduce a la definición de la función exponencial, multiplicado por $r$:

$$y(x) = r\sum_{i = 0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = re^{x}$$

Una adición; decir que eran inteligentes y tratar de quitar ese pequeño $n!$ factor en el denominador. (Es sólo sofocando el crecimiento, después de todo). Haciendo que conduce a lo que se llama en algunos círculos "geométrica" de crecimiento, lo que provoca $y(x)$ a ser infinita finita $x=1$!

$$y(x) = r\sum_{i = 0}^{\infty}x^n = \frac{r}{1-x}$$

Espero que esta ayuda; estoy feliz de actualización de la respuesta, si usted siente que algo falta o eliminar si no es lo que usted está buscando.

Answer 3

Si desea una interpretación física de la solución a una ecuación diferencial, usted tiene que comenzar con una interpretación física de la ecuación. ¿Qué es $y(x)$, y cuál es el significado físico de $y'(x) = r\cdot y(x)$? Usted no puede interpretar lo que la respuesta significa que si usted no sabe lo que la pregunta significa, en primer lugar.

Así que vamos a intentar, como ejemplo, la siguiente interpretación: Vamos a $y(t)$ ser una función de posición. Entonces la ecuación de $y'(t) = r\cdot y(t)$ significa, a grandes rasgos, "cuanto más lejos se va, mayor es la velocidad." Una consecuencia de esta situación podría ser "el mayor es la velocidad, mayor es la aceleración". No sólo eso, sino que cuanto más se acelera, el más idiota no sería, y así sucesivamente.

Ahora podemos volver a la alimentación de la serie de solución y tratar de interpretar los términos individuales. Esto es discutido (brevemente) en una respuesta en MESE: las aplicaciones Físicas de más términos de la serie de Taylor. La idea es que cada término puede ser pensado como una corrección de la anterior, que se introdujo a tomar en cuenta el hecho de que cada una de las sucesivas derivadas no es constante. Para ser más específicos:

• Si el objeto no se movía en absoluto, su posición sería $y(t) = y(0)$.
• Sin embargo, la posición no es constante, por lo que debemos tomar velocidad en cuenta. Si la velocidad eran constantes, lo haríamos por escrito $y(t) = y(0) + y'(0)t$.
• Sin embargo, la velocidad no es constante, por lo que debemos tomar la aceleración en cuenta. Si hubo una aceleración constante, tenemos que hacer esto mediante la escritura $y(t) = y(0) + y'(0)t + \frac 12 y''(0)t^2$.
• Sin embargo, la aceleración no es constante, por lo que debemos tomar la tercera derivada de la posición (jerk) en cuenta...

Y así sucesivamente, y así sucesivamente. Como escribí en un comentario a la liga MESE respuesta,

...Creo que el de la aproximación lineal (1 de dos términos) como "Donde la partícula sería si no estuviera acelerando"; el cuadrática aprox (1 de 3 términos) como "Donde la partícula sería si hubiera una aceleración constante"; etc. Cada término es una corrección que toma en cuenta un cambio en la legislatura anterior.

En el contexto de la moción, no tenemos buena intuición física (o incluso nombres) para las derivadas de orden superior; la 4ª derivada es a veces llamado "tope máximo" o "complemento" pero hablando sólo para mí, no puedo decirte lo que se siente estar en un vehículo en movimiento en una constante distinto de cero a la compresión. (Me imagino que es probablemente bastante desagradable.)