¿Puede la ecuación de Schrodinger describir el movimiento planetario?

Question

Me preguntaron en un examen si la ecuación de Schrodinger puede utilizarse para describir el movimiento planetario y mi respuesta fue: "No, porque las soluciones son funciones de onda que dan probabilidades, pero todo puede medirse exactamente para los objetos grandes."

Luego leí este artículo lo que sugiere que debería ser posible. ¿Cuál sería el hamiltoniano y cómo se obtienen resultados definitivos en lugar de probabilidades?

Answer 1

Sí, se pueden construir órbitas clásicas a partir de la ecuación de Schrodinger, siempre que se tome el límite correcto. Por ejemplo, consideremos el átomo de hidrógeno. Mientras que los niveles de energía más bajos, como el $1s$ o $2p$ no se parecen en nada a las órbitas clásicas, se pueden construir funciones de onda que sí lo hagan superponiendo soluciones con alta $n$ adecuadamente. Estas soluciones obedecen a la ecuación de Schrodinger con el Hamiltoniano $H = p^2/2m - e^2/r$ pero tienen un pico agudo, que orbita el núcleo en una trayectoria circular o elíptica. En el caso de las $n$ el pico puede ser extremadamente agudo, por lo que la posición es definitiva a efectos prácticos.

Heurísticamente esto funciona porque, dado un estado que es una superposición de estados con diferentes $\ell$ y $m$ pero el mismo $n$ los coeficientes del $|n, \ell, m \rangle$ Los estados interiores son esencialmente una transformada discreta de Fourier de la función de onda del espacio de posición, con $O(n^2)$ entradas. Para una mayor $n$ de los picos cada vez más nítidos. Este razonamiento ni siquiera es necesario; nosotros conozca tiene que funcionar porque todo es cuántico, así que debe haber una forma de reproducir los resultados clásicos dentro de la mecánica cuántica.

Tratando un planeta como una sola partícula, el mismo razonamiento es válido. Sin embargo, como se ha señalado en otras respuestas, esto no es la historia completa, porque un planeta es mucho más complicado que un electrón. De hecho, esta complicación es esencial, porque si un planeta y una estrella fueran partículas individuales en un espacio perfectamente vacío, no hay ninguna razón en particular para que el planeta acabe en uno de estos estados de aspecto clásico con una posición marcada. Para un planeta real esto es una consecuencia de la decoherencia: superposiciones que no tienen posiciones muy marcadas no son estables frente a la interacción con el entorno. Así es como surge el mundo clásico.

También debo señalar que el enlace que has dado es no un ejemplo de ello. Ese artículo trata de una cantidad astrofísica que resulta estar descrita por una ecuación con la misma forma que la ecuación de Schrodinger, pero no ocurre absolutamente nada cuántico. Es sólo una coincidencia, que surge porque no hay tantas EDP de bajo orden diferentes. Si hay alguna razón, es simplemente que buscamos ecuaciones sencillas tanto a escala microscópica como macroscópica.

Answer 2

Es muy común en física que una misma ecuación diferencial describa diferentes sistemas. Por ejemplo, consideremos la ecuación

$$ \frac{dy}{dt} = -k\,y $$

Describe la desintegración de sustancias radiactivas, la velocidad del flujo de agua a través de una fuga en el fondo de un barril, y probablemente el número de células cerebrales vivas en mi cerebro. Pero aunque sea la misma ecuación en estos ejemplos, el significado físico de $y$ y la constante $k$ son muy diferentes.

Ahora bien, el trabajo que usted menciona se describe en Evolución de Schrödinger de los discos autogravitatorios por Konstantin Batygin y los detalles se describen en ese documento. Batygin construye una función $\psi$ que es una función bastante abstracta construida a partir de variables que describen el movimiento, y encuentra que $\psi$ obedece a la ecuación de Schrodinger. Pero físicamente es completamente diferente. Su $\psi$ no es una función de onda y no está relacionada con las probabilidades.

Answer 3

La ecuación de Schrödinger que aparece en el artículo es una ecuación clásica de movimiento, que describe efectivamente algún problema de mecánica del continuo. En este sentido, los discos no se rigen por el La ecuación de Schrödinger con su interpretación cuántica. Del mismo modo, las ecuaciones similares a las de Schrödinger se presentan como ecuaciones de onda clásicas en muchos ámbitos (por ejemplo, las ondas del agua).

Sin embargo, la ecuación real de Schrödinger puede y hace describir el movimiento orbital de los planetas. Ya que la mecánica newtoniana debe ser un límite de la mecánica cuántica, si queremos aceptar la mecánica cuántica como modelo que describe nuestro mundo (después de todo, la nueva teoría tiene que explicar por qué la antigua tuvo tanto éxito).

La forma más sencilla de ver que esto es así es estudiar el teorema de Ehrenfest, que nos dice cómo evolucionan los valores de las expectativas. La derivación a partir de la ecuación de Schrödinger y su conjugada es bastante sencilla: \begin{align*} i\hbar \partial_t \left|\psi\right> &= H\left|\psi\right> & -i\hbar \partial_t \left<\psi\right| &= \left<\psi\right| H \end{align*} \begin{align*} \partial_t \left<\psi \middle| A \middle| \psi \right> &= (\partial_t \left<\psi\right|) A \left|\psi\right> + \left<\psi\right| (\partial_t A) \left|\psi\right> + \left<\psi\right|A \partial_t \left|\psi\right> \\ &= \frac i \hbar \left<\psi\right| HA \left|\psi\right> + \left< \psi \right| (\partial_t A) \left|\psi\right> - \frac i \hbar \left<\psi\right|AH\left|\psi\right> \end{align*} $$ \partial_t \left< A \right> = \frac i \hbar \left<\left[H, A\right]\right> + \left<\partial_t A\right> .$$

Si ahora tomamos una $n$ -Hamiltoniano de la partícula: $$ H = \sum_i \frac{p_i^2}{2m_i} + V(\vec r_1, \ldots, \vec r_n)$$ y escribir las ecuaciones de los valores de las expectativas de $\vec r_i$ y $\vec p_i$ obtenemos las ecuaciones: \begin{align*} \partial_t \left<\vec p_i \right> &= \frac i \hbar \left<[H, \vec p_i]\right> = \left< \nabla_i V(\vec r_1, \ldots, \vec r_n) \right> \\ \partial_t \left<\vec r_i \right> &= \frac i \hbar \left<[H, \vec r_i]\right> = \frac i \hbar \left<\left[\frac{p_i^2}{2m_i}, \vec r_i\right]\right> = \frac {\left<\vec p_i\right>} {m_i}. \\ \end{align*} Esas son casi las ecuaciones clásicas de movimiento para $\left<\vec r_i\right>$ y $\left<\vec p_i\right>$ . La única diferencia es que la fuerza $\nabla V(\vec r_1, \ldots, \vec r_n)$ no se evalúa en la posición media, sino que se promedia sobre el estado. Esto, sin embargo, no importa si nuestro estado es un paquete de ondas muy agudo comparado con la escala de longitud en la que $\nabla_i V$ varía. Esto muestra cómo la mecánica cuántica describe el movimiento orbital, ya que describe la mecánica clásica en el límite de paquetes de ondas fuertemente concentrados en el ( $\vec p$ , $\vec r$ ), por lo que la medición tendrá una incertidumbre mecánica cuántica muy pequeña. Los límites impuestos a la agudeza del pico por la relación de incertidumbre son insignificantes para un planeta ${}^1$ que tiene una masa inmensa, por lo que incluso para pequeñas velocidades $\vec p$ se hace muy grande en comparación con $\hbar$ para que la incertidumbre de la posición pueda ser también muy pequeña.

Si tenemos algún sistema vinculado formado por $n$ partículas, podemos hacer lo mismo que en la mecánica clásica y transformar las coordenadas para obtener una ecuación para el centro de masa y ecuaciones para el movimiento relativo de los constituyentes. Esto, a su vez, significa que podemos escribir la ecuación de Schrödinger para el centro de masa de un planeta, al igual que podemos escribir las ecuaciones de movimiento para el centro de masa en la mecánica clásica. (Nota: ese potencial que actúa sobre el centro de masa es exactamente el mismo que si los planetas fueran masas puntuales requiere la simetría esférica de los cuerpos en órbita y está relacionado con el teorema de la cáscara de Newton - pero es cierto para cuerpos más generales como el primer orden de una expansión multipolar).

Utilizando la idea del último párrafo, podemos escribir el Hamiltoniano para un planeta en órbita. Tiene la misma forma que el Hamiltoniano de un átomo de hidrógeno: $$ H = \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + G\frac{m_1 m_2}{\left|\vec r_1 - \vec r_2\right|}, $$ Por supuesto que se complica si incluimos varias masas, pero el Hamiltoniano presentado tiene la conveniente propiedad, de que las soluciones son conocidas, por lo que podemos estudiar soluciones exactas.

Ahora, podemos ir más allá y plantear la pregunta de cómo surgen las órbitas clásicas como solución de estado límite dependiente del tiempo $^2$ de la ecuación de Schrödinger (que, al fin y al cabo, son proporcionales a los armónicos esféricos, por lo que se extienden por toda la órbita). Para ello tenemos que construir los paquetes de ondas agudas (la discusión sigue la del final (p. 136-138) del capítulo 6.3 de Franz Schwabl: Quantum Mechanics. Cuarta edición, Springer (2007)). Restringimos la discusión a las órbitas circulares, la construcción de soluciones de pico agudo en órbitas elípticas es mucho más difícil. Por analogía con la forma en que se derivan los paquetes de ondas gaussianas para las partículas libres, superponemos los estados propios con grandes números cuánticos $n$ . Además, elegimos sólo los componentes con el máximo momento angular $l = n-1$ (ya que las órbitas circulares clásicas tienen el mayor momento angular para una energía dada) y el número cuántico magnético máximo $m = l$ (ya que son los estados más localizados alrededor del plano central de rotación). Esto da una forma \begin{align*} \psi(r, \vartheta, \varphi, t) &= \sum_n c_n \psi_{n,n-1,n-1}(r, \vartheta, \varphi) e^{-iE_nt/\hbar} \end{align*} Le site $c_n$ se eligen para que se centren en algunos grandes $n_0$ y decae en una anchura pequeña comparada con $n_0$ . Ahora podemos escribir $n = n_0 + \varepsilon$ y se desarrollan en el pequeño parámetro $\varepsilon/n_0$ $$ \psi(r, \vartheta, \varphi, t) = \sum_n c_n \frac{1}{\sqrt \pi n! n^n a^{3/2}} \left(-\frac r a \sin(\vartheta)\right)^{n-1} e^{-r/na} e^{i(n_0+\varepsilon)\varphi + i t \frac{\left|E_0\right|}{\hbar} \left(1/n_0^2 - 2\varepsilon/n_0^3\right)} $$ Obviamente, esto tiene un pico agudo alrededor de $\theta = \pi/2$ para grandes $n_0$ . En el $\theta = \pi/2$ plano, podemos escribir (la normalización y la fase constante se absorben en los nuevos coeficientes de desarrollo $c_n'$ ): $$ \psi(r, \vartheta=\pi/2, \varphi, t) \propto \sum_n c_n' r^{n-1} e^{-r/na} e^{i(n-n_0) \big(\varphi - (2\left|E_0\right|/\hbar n_0^3)t\big)}$$ Si el $c_n'$ se eligen adecuadamente, esto mostrará una dependencia del tiempo $\psi(r, \pi/2, \varphi, t) = f(r)g(\varphi-\omega t)$ con $\omega = 2\left|E_0\right|/\hbar n_0^3$ . La distribución radial tiene un pico similar (es un poco más trabajoso mostrar esto, lo más fácil es considerar esa diferencia relativa de los valores de expectativa de posición $\frac{\left<r\right>_{n,n-1,n-1} - \left<r\right>_{n+1,n,n}}{\left<r\right>_{n,n-1,n-1}} \approx 2/n \to 0$ para grandes $n$ pero es un poco más trabajoso demostrar que la incertidumbre radial también se hace pequeña como número absoluto).

Lo bueno de estos paquetes de ondas es que, a diferencia de los paquetes de ondas gaussianas en el espacio libre, sus incertidumbres no crecen ilimitadamente. Así que ni siquiera tenemos que preocuparnos de que la posición de nuestro planeta se difumine por todo el sistema solar después de unos pocos millones de años. (Esto, por supuesto, no puede suceder para los objetos macroscópicos, pero discutir esto nos llevaría demasiado lejos de la cuestión).

Otra observación es que estas órbitas cuasi-clásicas también pueden prepararse para los átomos. Estos átomos altamente excitados se llaman Átomos de Rydberg .

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${}^1$ Si queremos realizar una incertidumbre de $\Delta x = 10^{-30}\,\mathrm{m}$ del centro de la tierra la incertidumbre de la velocidad estará limitada por $\Delta v \ge \frac{\hbar}{2 m_E \Delta x} = 8.5 \cdot 10^{-30}\,\mathrm{\frac m s}$ .

${}^2$ El estado límite es importante aquí en la medida en que es sencillo utilizar un paquete de ondas gaussiano y el aparato de Ehrenfest derivado anteriormente. El problema es que una parte (exponencialmente pequeña) de la probabilidad escapará al infinito, porque la probabilidad para un momento arbitrariamente alto no es cero. Así que la solución no será una superposición de soluciones de estado límite, sino que incluirá algunos coeficientes en el espectro continuo.

Answer 4

Sí, no y no.

Sí, en el sentido de que en la medida en que todo esté descrito por la mecánica cuántica, evolucionará según la ecuación de Schrödinger.

No en el sentido de que los planetas están compuestos por un montón de partículas, y la ecuación tendrá $3N$ dimensiones que describen la función de onda conjunta. También tendrá un montón de términos de interacción complicados (y como estamos hablando de fermiones, en realidad será la ecuación de Dirac). Así que no será un análogo de la simple ecuación de simetría esférica del electrón alrededor del protón que los libros de texto resuelven para el hidrógeno, sino una versión enorme y monstruosa que probablemente esté muy lejos de lo que el examen consideró. Sabemos empíricamente que el movimiento planetario se promedia muy bien en la órbita clásica, pero la razón por la que esto ocurre es independiente del marco de la ecuación de Schrödinger.

Por último, no en el sentido de que las órbitas propias requieren la relatividad general y, por tanto, son incompatibles con la mecánica cuántica. Se puede intentar resolver la ecuación de Schrödinger en un espaciotiempo de Schwartschild (es decir, suponer que el planeta no tiene efecto sobre el cuerpo central) como modelo semiclásico: esto produce un resultado algo parecido a un átomo de hidrógeno para los planetas "partículas" sin componentes. Pero, obviamente, esto es sólo una aproximación, ya que habrá una reacción posterior en el cuerpo central.

Answer 5

Me preguntaron en un examen si la ecuación de Schrodinger puede utilizarse para describir el movimiento planetario y mi respuesta fue: "No, porque las soluciones son funciones de onda que dan probabilidades, pero todo puede medirse exactamente para los objetos grandes."

Hay algunos problemas con su respuesta. En primer lugar, las funciones de onda no sólo describen probabilidades. En algunas situaciones, el módulo cuadrado de la función de onda obedece a las reglas de la probabilidad, pero en muchos experimentos no es así:

https://arxiv.org/abs/math/9911150

En segundo lugar, no está claro qué quieres decir con que "todo se puede medir exactamente para los objetos grandes". La mecánica cuántica dice que las incertidumbres en la posición y el momento obedecen a la siguiente desigualdad $\Delta x\Delta p \geq \hbar$ . No creo que los astrónomos midan los planetas con una precisión suficiente para medir un efecto tan pequeño.

En tercer lugar, la mecánica cuántica se ha aplicado a la dinámica planetaria:

https://arxiv.org/abs/quant-ph/9612037

La mecánica cuántica predice que los objetos grandes, como los planetas, no sufrirán interferencias debido a la decoherencia causada por la interacción con otros sistemas, como la luz que incide en el planeta en cuestión.

Entonces leí este artículo que sugería que debería ser posible. ¿Cuál sería el hamiltoniano, y cómo obtenemos resultados definitivos en lugar de probabilidades?

El artículo que has enlazado no es relevante para la cuestión que has planteado, ya que describe la ecuación de Schrodinger como una descripción aproximada para una carga de partículas que interactúan, no como una descripción de una sola partícula u objeto como se utiliza en la mecánica cuántica.