El operador de Laplace: aquellos de ustedes que ahora lo entiendo, ¿cómo explicar lo que "hace" conceptualmente? ¿Cómo desea usted que se le había enseñado?
Cualquier buen ensayos (la combinación de la historia y de la comprensión conceptual) en el operador de Laplace, y sus variaciones posteriores (por ejemplo, Laplace-Bertrami) que usted recomendaría?
El Laplaciano $\Delta f (p)$ es la de menor orden de la medición de cómo $f$ se desvía de $f(p)$ "en promedio" - se puede interpretar esto probabilísticamente (cambio esperado en $f$ como tomar un paseo aleatorio) o geométricamente (el cambio en el promedio de $f$ más de las bolas centradas en $p$). Para hacer esta segunda interpretación precisa, escribir la serie de Taylor
$$ f(p+x) = f(p) + f_i(p) x^i + \frac12 f_{ij}(p) x^i x^j + \cdots$$
e integrar:
$$ \int_{B_r(p)} f = f(p) V(B_r) + f_i(p)\int_{B_r(0)}x^idx+\frac12 f_{ij}(p)\int_{B_r(0)}x^ix^jdx + \cdots.$$
Las integrales de $\int x^i dx$ desaparecer porque $x^i$ es una función impar en virtud de la reflexión en la $x^i$ dirección, y de manera similar a la de las integrales de $\int x^i x^j dx$ desaparecer cuando $i\ne j$; para esto se simplifica a
$$ \frac{1}{V(B_r)}\int_{B_r(p)} f = f(p) + C \Delta f(p) r^2 + \cdots $$
donde $C$ es una constante que depende sólo de la dimensión.
La de Laplace-Beltrami operador es esencialmente la misma cosa en el más general de Riemann configuración - todos los desagradables curvas términos de orden superior, por lo que la misma fórmula que deben tener.
Para ganar algo (muy aproximado) la intuición para el Laplaciano, creo que es útil pensar en el Laplaciano en $\mathbb{R}$, que es simplemente la derivada segunda de $\frac{d^2}{dx^2}$. (Esta respuesta puede ser más elementales de la OP estaba buscando, pero me gustaría que me había mantenido algunas de estas cosas en mente cuando me enteré sobre el Laplaciano.)
Como Anthony respuesta, se analiza, la derivada segunda en $p \in \mathbb{R}$ mide la cantidad de $f(p)$ se desvía de los valores promedio de $f$ en ambos lados de la misma. Si la segunda derivada es positiva, entonces $f(p)$ es menor que el promedio de $f(p + h)$ y $f(p - h)$ para los pequeños $h$. (Como diría mi cálculo estudiantes, el trapecio, regla de las sumas de Riemann es una sobreestimación cuando la segunda derivada es positiva.)
En general, una función es armónica si y sólo si satisface la media del valor de la propiedad. En $\mathbb{R}$, armónica funciones son simplemente lineal de los polinomios, que por supuesto son precisamente las funciones que satisfacen la media del valor de la propiedad.
El principio del máximo estados más o menos que si $\Delta u \geq 0$, entonces los máximos locales de $u$ no se producen. Esta es una generalización de la familiar "de la segunda derivada de la prueba", de cálculo, de la que dice que si la derivada segunda de $u$ es positivo, entonces los máximos locales de $u$ no se producen (la gráfica de $u$ es cóncava hacia arriba).
Por último, déjame subir una dimensión y mencionar algunas de mi intuición para armónica de las funciones $u(x,y)$ de dos variables, en cuyo caso $\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$. Si $u$ es armónico, entonces $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = - \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$. Este dice que la gráfica de $u$ debe tener siempre como una silla de montar: si, por ejemplo, la gráfica es cóncava hacia arriba en la $x$-dirección ($\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} > 0$), entonces debe de ser cóncava hacia abajo en el $y$-dirección ($\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} < 0$). Cuando me imagino a una silla en forma de gráfico en mi cabeza, creo que también puedo ver por qué el principio del máximo tiene que llevar a cabo para armónica de funciones, desde una silla de montar no tiene extremos locales.
Creo que la más importante propiedad del operador de Laplace $\Delta$ es que es invariante bajo rotaciones. De hecho, si un operador diferencial en el espacio Euclidiano es la rotación y la traducción de todos los idiomas, entonces debe ser un polinomio en $\Delta$. Es por eso que es de tal importancia en los problemas físicos.
Algunos buenos libros sobre el tema:
Rosenberg El Laplaciano en un Colector de Riemann.
Gurarie del Simetrías y Laplacians.
Otro punto de vista a lo largo de las líneas de las respuestas anteriores:
Supongamos que usted tiene cierta región en el plano $\Omega$, y se le da el valor de algunos de escalar la función $f$ a lo largo del límite de $\partial \Omega$. Ahora quiere llenar de $f$ en el interior de $\Omega$ "tan suavemente como sea posible." (Una común interpretación física es que $f$ es el calor de la región: corrección de la temperatura del límite de $\Omega$ y quieren saber cuál es la temperatura en el interior será en el estado estacionario.)
¿Qué significa "tan suave como sea posible"? Así, una medida de la suavidad de $f$ es buscar en su gradiente de $\nabla f$ y medir $$E(f) = \int_{\Omega} \|\nabla f\|^2\,dA.$$ Aviso que esta integral, llamado el de Dirichlet de la energía de $f$, alcanza su valor más bajo posible de $0$ cuando $f$ es constante. El menos suave (de primer orden) que $f$ es, mayor es la de Dirichlet energía será. $F$ tan suave como sea posible significa encontrar el $f$ y que satisface las condiciones de contorno y minimiza $E$.
¿Cómo podemos minimizar $E$? "Nos tomamos la derivada y póngalo a cero": $$\nabla_f E = 0.$$ Puede parecer un poco extraño para diferenciar un escalar (la de Dirichlet de la energía) con respecto a una función, pero la idea es la misma que cuando se trabaja con el ordinario de la pendiente. Recuerda que, por un escalar ordinario de la función $g(x,y,z):\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$, el gradiente de $\nabla g$ en un punto es el único vector que, al punto que con cualquier dirección $v$, le dice que la derivada direccional de $g$ en esa dirección: $$\nabla g(x,y,z)\cdot v = \frac{d}{dt}g[(x,y,z)+t v]\biggr\vert_{t\to 0}.$$ El gradiente de $E$ funciona de la misma manera: se le da la función única de más de $\Omega$ que, cuando tome el interior del producto de $\nabla E(f)$ con cualquier variación de $\delta f$ de $f$, le da la derivada direccional de $E$ en que la "dirección": $$\int_{\Omega} \nabla E(f) \delta f\,dA = \frac{d}{dt}E(f+t \delta f)\biggr\vert_{t\to 0}.$$ Usted puede hacer el cálculo multivariable y después de la integración por partes, se verá que $\nabla E(f) = -\Delta f.$ Varios robos de balón de esto:
La función $f$ que interpola las condiciones de frontera, tan suavemente como sea posible (en el sentido de minimizar la Dirichlet energía) es la solución a la ecuación de Laplace $-\Delta f = 0$.
Dada una función $f$ que interpola las condiciones de frontera, pero no minimizar el Dirichlet de la energía, el gradiente de la $E$, $-\Delta f$, es el "sentido ascensional" de $E$ -- la dirección a cambio de $f$ si desea más rápidamente un aumento de $E$. La negativa de este, $\Delta f$, es la dirección que más rápidamente disminuye $E$: si usted está tratando de suavizar $f$, esto es, a continuación, la dirección en la que desea flujo de $f$ en. Esta idea conduce a la ecuación del calor $$\frac{df}{dt} = \Delta f$$ que, dada inicial de temperaturas en $\Omega$, fluye en la dirección que mejor se disminuye la Dirichlet energía hasta que el calor se ha difundido tan suavemente como sea posible sobre la superficie.
En ninguna parte en la discusión anterior era esencial que $\Omega$ era una pieza de un avión: como usted puede definir funciones en $\Omega$ y tomar gradientes de $f$ para obtener la Dirichlet de la energía, el anterior funciona igual de bien, y es una manera de motivar a la de Laplace-Beltrami operador arbitrarias de colectores en $\mathbb{R}^3$. La imagen física es que tiene algunos conductora de la placa en el espacio vacío, y el calor hasta el límite de la placa, y mira cómo el calor favorece la igualdad por encima de la placa.
Aquí está una cierta intuición:
Creo que lo más básico para saber sobre el Laplaciano $\Delta$ es $-\Delta = -\text{div} \, \nabla$, y $-\text{div}$ es el adjunto de $\nabla$. Por lo tanto, $-\Delta$ tiene la forma familiar de $A^T$ que se repite a lo largo de álgebra lineal. Vemos que $-\Delta$ es un uno mismo-adjoint positivo semidefinite operador, y de modo que podemos esperar (o la esperanza) de que el familiar propiedades positivas semidefinite operadores en álgebra lineal cierto para $-\Delta$. Es decir, esperamos que $-\Delta$ real no negativo de autovalores, y que no deberían existir (en cierto sentido) de una base ortonormales de funciones propias para $-\Delta$. Esto proporciona cierta intuición o la motivación para el tema de las "funciones propias del Laplaciano". (Por cierto, creo que el Laplaciano debe haber sido definida en $- \text{div} \, \nabla$.)
Observe que la fórmula de integración por partes se puede interpretar como que nos dice que $-\frac{d}{dx}$ es el adjunto de $\frac{d}{dx}$ (en un entorno en el límite de términos desaparecer). Serie de Fourier puede ser descubierto mediante el cálculo de las funciones propias de la anti-uno mismo-adjoint operador $\frac{d}{dx}$ en un entorno adecuado. Por otra parte, un multivariable integración por partes fórmula puede ser interpretado como que nos dice que $-\text{div}$ es el adjunto de $\nabla$. Verde de la segunda identidad puede ser interpretado como la expresión de la auto-adjointness del Laplaciano.
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