al menos un elemento fijado por todo el grupo

Question

$G$ es un p-grupo y $S$ es un conjunto que $G$ actos. p no divide a a $|S|$. ¿Por qué hay al menos un elemento de a $a\in S$ tal que $|O(a)|=1$, o en otras palabras, $G_a=G$?

Traté de hacer esta pregunta de ayer, pero no la palabra es correcta, entonces, el que me ayudó a reclamar que esta parte es claramente cierto y yo realmente no entiendo por qué, y yo no podía obtener una respuesta clara para el último día.

Alguno de ustedes son bienvenidos a votar para eliminar esta pregunta (después de alguna discusión conmigo sobre el problema espero), pero realmente quiero saber por qué "es cierto, porque yo todavía no podía razón por la que la derecha.

Answer 1

El orden de$G$ es$p^n$ para algunos$n$. El conjunto$S$ se puede dividir en órbitas y la relación del estabilizador de órbita te dice que el tamaño de una órbita divide el orden del grupo, por lo que las órbitas son todas del tamaño$p^m$ para algunos$m \leq n$

Si cada órbita tuviera el tamaño$p^m$ con$m > 0$, entonces$p$ dividiría el tamaño de cada órbita y, por lo tanto, se dividiría$|S|$.

Answer 2

Dado que$|S|$ no divide$p$,$\exists a\in S$ de modo que$|O(a)|$ no divide$p$.

El teorema de órbitas estabilizador dice$\forall a\in S,|O(a)||G_a|=|G|$, lo que significa$|O(a)|$ debe ser una potencia de$p$ como$|G|$ es un grupo$p$ -. Por lo tanto, para ese$a$,$|O(a)|$ debe ser igual a$1$.

Answer 3

¿Qué tal esto? Si$G$ actúa sobre$S$, entonces$S=\bigcup_{a\in S}O(a)$ (la unión de todas las órbitas de a).

Asi que $|S|=\sum_{a\in S}|O(a)|=\sum_{a\in S}{|G|\over |G_a|}$.

Ahora, p no divide$|S|$, lo que significa que p no divide$\sum O(a)$ o existe$a\in S$ que p no divide$|G|\over |G_a|$.

Como$G$ es un grupo p, si p no divide$|G|\over |G_a|$, esto significa${|G|\over |G_a|}=p^0=1$

Más o menos $|G|=|G_a|$.

Por lo tanto$G_a=\{g\in G: g.a=g \ \forall \ g\in G\}$