¿Los espacios euclidianos demuestran más afirmaciones que la geometría euclidiana?

Question

¿Existe un enunciado en el lenguaje de la geometría euclidiana (como se define en Los axiomas de Hilbert ) que

• es indecidible por la geometría euclidiana
• es demostrable en el espacio euclidiano de dimensión 3

Estoy tratando de obtener una opinión sobre si las pruebas geométricas que utilizan coordenadas introducen un sesgo, o decisiones que están ausentes en la geometría euclidiana.

Answer 1

Según cualquier interpretación razonable, la respuesta es no. Los axiomas de Hilbert son categóricos, lo que significa que se puede demostrar que dos estructuras cualesquiera que los satisfagan son isomorfas. En particular, se puede demostrar que cualquier estructura que satisfaga los axiomas de Hilbert es isomorfa a $\mathbb{R}^3$ (con su estructura geométrica habitual). Así que cualquier afirmación que se pueda demostrar sobre $\mathbb{R}^3$ (y que implica sólo la estructura descrita por los axiomas de Hilbert) es verdadera para cualquier otro modelo de los axiomas de Hilbert.

(Obsérvese que, en el contexto de los axiomas de Hilbert, no tiene mucho sentido hablar del "lenguaje de la geometría euclidiana" o de enunciados "decidibles en geometría euclidiana". Los axiomas de Hilbert no son un sistema de pruebas autónomo. Más bien, son una axiomatización de una estructura que pretende ser interpretada dentro de una teoría de conjuntos ambiental. Así que el lenguaje que se puede utilizar al hablar de la geometría euclidiana a través de los axiomas de Hilbert es realmente toda la teoría de conjuntos del entorno, o al menos un gran fragmento de ella. Una prueba que utiliza construcciones auxiliares fantásticamente complicadas de la teoría de conjuntos para razonar sobre un modelo arbitrario de los axiomas de Hilbert es una prueba de geometría euclidiana perfectamente buena, si defines la geometría euclidiana por los axiomas de Hilbert).

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Si en cambio se utiliza una axiomatización de primer orden como los axiomas de Tarski, la respuesta depende de lo que se entienda por "el lenguaje de la geometría euclidiana". El significado más obvio es el lenguaje de primer orden de los axiomas de Tarski, en cuyo caso la respuesta es no: los axiomas de Tarski generan una teoría de primer orden completa, por lo que los enunciados de primer orden que puedes demostrar a partir de ellos son exactamente los enunciados de primer orden que son verdaderos de cualquier modelo individual (por ejemplo, $\mathbb{R}^3$ ). Pero si se permiten declaraciones de orden superior, la respuesta es sí. Por ejemplo, $\mathbb{R}^3$ es incontable, pero hay modelos de los axiomas de Tarski que son contables. O para algo más clásico, el axioma de Arquímedes es verdadero en $\mathbb{R}^3$ pero no es cierto en modelos arbitrarios de los axiomas de Tarski.