Resolviendo esta ecuación$10\sin^2θ−4\sinθ−5=0$ para$0 ≤ θ<360°$

Question

La primera parte de la pregunta me pide que cuadre ambos lados de la ecuación:$$3 \cos θ=2 − \sin θ

Para que pueda obtener y resolver el cuadrático:$$10\sin^2θ−4\sinθ−5=0 \;\;\text{for}\;\; 0 ≤ θ<360°

Las soluciones obtenidas en el intervalo son:$69.2°, 110.8°, 212.3°, 327.7°$

Sin embargo, la segunda parte de esta pregunta me detiene, pregunta:

"Explique por qué no todas las respuestas satisfacen$3\cosθ=2−\sinθ$".

Entiendo lo que está pidiendo, pero no entiendo por qué es así. Cualquier ayuda para entender esto sería apreciada, gracias.

Answer 1

Corremos el riesgo de introducción de nuevas "soluciones" cuando resolvemos una ecuación al cuadrado es:

Supongamos, por ejemplo, se nos da la ecuación, y se le pide que encuentre todas las soluciones reales: $$x^{3/2} = 2\sqrt x\tag{1}$$

Podemos resolverlo por primera ajustarlo: $$(x^{3/2})^2 = (2\sqrt x)^2$$ $$\iff x^3 -4x = 0$$ $$\iff x(x^2 - 4) = 0$$ $$\iff x(x+2)(x-2) = 0\tag{2}$$ $$\iff x = 0, \;\text{ or} \; x= -2, \text{ or}\;x = 2$$

Tres soluciones, ¿verdad?

Mal: Si volvemos a la ecuación original $(1)$, vemos que la ecuación está definida en los reales al $x = -2$, ya que no podemos tomar la raíz cuadrada de un valor negativo. Así, mientras que $x = -2$ resuelve la ecuación de $(2)$, es no una solución a la ecuación de $(1)$.

$x = 0,\; x = 2$ , sin embargo las soluciones a ambos $(1)$$(2)$.

Así, mientras que el cuadrado de cada lado de una ecuación que nos permite obtener más fácilmente soluciones, siempre debemos tener la precaución de comprobar las soluciones en la ecuación original para confirmar, o tirar, las soluciones para el cuadrado de la ecuación.

Answer 2

Su razonamiento es una secuencia de las consecuencias lógicas (y no de equivalencias) que te llevan a la conclusión de que la $\theta\in \{69.2, \,110.8, \,212.3, \,327.7\}:=S$.

No necesariamente saben que todos los $\theta \in S$ va a satisfacer la ecuación inicial, sólo sabemos que cada solución de la ecuación será en $S$.

De hecho no suceda que cada elemento de a $S$ será una solución de la ecuación. Tenga en cuenta que para cada $\theta\in S$ tenemos $2-\sin (\theta)>0$. Sin embargo se puede comprobar que no todos los $\theta\in S$ hacer la desigualdad $3\cos (\theta)>0$ cierto.

La razón de todo esto era que el cuadrado de la ecuación. Tenga en cuenta que$2^2=(-2)^2$$2\neq -2$.

Como un ejemplo de un problema similar considerar la ecuación de $\cos (\theta)=\sin (\theta)$$[0,360]$. Usted debe saber que las soluciones a esta ecuación se $45º$$225º$. Sin embargo, si usted proceder de manera similar se obtiene

$$\cos (\theta)=\sin (\theta) \Longrightarrow (\cos (\theta))^2=(\sin (\theta))^2 \Longrightarrow \theta \in \{45º, 135º, 225º, 315º\}$$

Usted puede "ir hacia adelante" en su razonamiento, pero no se puede "ir hacia atrás".

Answer 3

También existe la puramente trigonométricas enfoque: $$3\cos\theta= 2-\sin\theta\quad\Leftrightarrow\quad 3\cos\theta+\sin\theta=2\quad \Leftrightarrow\quad \frac{3}{\sqrt{10}}\cos\theta+\frac{1}{\sqrt{10}}\sin\theta=\frac{2}{\sqrt{10}}$$ Ahora establecimiento $\theta_0:=\arcsin (3/\sqrt{10})$$\theta_1:=\arcsin(2/\sqrt{10})$, esto es equivalente a $$\sin(\theta+\theta_0)=\sin\theta_1.$$ Por lo que las soluciones son $$\theta_1-\theta_0+2\pi\mathbb{Z}\quad\mbox{y}\quad \pi\theta_1-\theta_0+2\pi\mathbb{Z}.$$ En $[0,2\pi]$, esto deja $$\theta_1-\theta_0+2\pi\simeq 5,72\;\mbox{radianes}\quad\mbox{y}\quad \pi\theta_1-\theta_0\simeq 1.20 \;\mbox{radianes}$$ por lo tanto $$\simeq 327,7\;\mbox{grados}\quad \mbox{y}\quad \simeq 68,7\;\mbox{grados}.$$