¿Curva proyectiva$x^3+y^3=2z^3$ en$\mathbb P^2$ singular?

Question

¿La curva proyectiva$x^3+y^3=2z^3$ en$\mathbb P^2$ (definida sobre$\mathbb{C}$) es singular o no singular? Si es singular, ¿cuáles son los tipos de estas singularidades?

Para una curva afín, uno encontraría los puntos en los cuales la ecuación, y sus primeras derivadas (con respecto a xey) son iguales a$0$. ¿Haría algo similar para una curva proyectiva? ¿Cómo debo determinar si esta curva es singular?

Answer 1

Dado un polinomio homogéneo $f(x,y,z)\in \mathbb C[x,y,z]$ grado $d\gt0$, la curva de $V(f)\subset \mathbb P^2$
(= cero locus $\{f=0\}$) tiene como singularidad el conjunto de soluciones de $S \subset \mathbb P^2$ del sistema de $$\frac {\partial f}{\partial x}=\frac {\partial f}{\partial y}=\frac {\partial f}{\partial z}=0 \quad (\ast)$$.
Sorprendentemente un punto de $s\in S$ automáticamente pertenece a $V(f)$, es decir,$f(s)=0$, gracias a la identidad de Euler $$x\frac {\partial f}{\partial x}+y\frac {\partial f}{\partial y}+z\frac {\partial f}{\partial z }=df(x,y,z) \in \mathbb C[x,y,z]$$ In your case $f(x,y,z)=x^3+y^3-2z^3$, so that the system $(\ast)$ has as only solution $x=y=z=0$, which which does not correspond to any point in $\mathbb P^2$.
Por lo tanto $x^3+y^3-2z^3=0$ no tiene singularidades: es un suave proyectiva del plano de la curva.

[Tenga en cuenta que usted no tiene que hacer ningún cálculo en las tres canónicas abrir afín subespacios $x=1,y=1, z=1$$\mathbb P^2$.]