Proceso de ramificación de probabilidad condicional

Question

Considere un proceso de ramificación temporal discreto $X_{n}$ con $X_{0}=1.$ Establecer la simple desigualdad $$P\{X_{n}>L\ \textrm {for some}\ 0 \leq n \leq m\ |\ X_{m}=0 \} \leq [P\{X_{m}=0\}]^L$$

Nota: Este número es la segunda edición del libro "El primer curso de los procesos estocásticos" del autor Samuel Karlin. ¿Podría alguien ayudarme a resolverlo? ¡No tengo ni idea de cómo responder! ¡Le agradezco!

Answer 1

Deje que $T= \inf\ {n:X_n>L\}$ . Defina $ \mathbb {E}_x[ \cdot ]= \mathbb {E}[ \cdot |X_0=x]$ , $ \mathcal {F}_n= \sigma (X_0, \dots ,X_n)$ y $ \mathcal {F}_T=\{A:A \bigcap\ {T=n\} \in\mathcal {F}_n \text { for all $ n $}\}$ .

Entonces desde

$$\{X_n>L \text { for some $ 0 \le n \le m $ }\}=\{ \max_ {0 \le n \le m}X_n>L\}=\{T \le m\}$$

tenemos

$$P_1\{ \max_ {0 \le n \le m}X_n>L,X_m=0\}=P_1\{T \le m,X_m=0\}$$ $$= \mathbb {E}_1[1\{T \le m\}1\{X_m=0\}]$$ $$= \mathbb {E}_1[1\{T \le m\} \mathbb {E}_1[1\{X_{(m-T)+T}=0\}| \mathcal {F}_T]]$$ $$=^1 \mathbb {E}_1[1\{T \le m\} \mathbb {E}_{X_T}[1\{X_{m-T}=0\}]$$ $$=^2 \mathbb {E}_1[1\{T \le m\}(P_1\{X_{m-T}=0\})^{X_T}]]$$ $$ \le ^3 \mathbb {E}_1[1\{T \le m\}(P_1\{X_m=0\})^{L+1}]] \le (P_1\{X_m=0\})^{L+1}$$

$^1$ - por la fuerte propiedad de Markov;

$^2$ - $P_x(X_k=0)=P_1(X_k=0)^x$ ;

$^3$ - $X_T \ge L+1$ y $P\{X_k=0\}$ no está disminuyendo en $k$ .

Por consiguiente,

$$P_1\{ \max_ {0 \le n \le m}X_n>L|X_m=0\}= \frac {P_1\{ \max_ {0 \le n \le m}X_n>L,X_m=0\}}{P_1\{X_m=0\}} \le (P_1\{X_m=0\})^L$$