Dejemos que $ (x_n) $ sea una secuencia divergente en un subconjunto compacto de $ \mathbb{R}^n $ . Demuestra que hay dos subsecuencias que convergen a límites diferentes.

Question

Dejemos que $(x_n)$ sea una secuencia divergente en un subconjunto compacto de $\mathbb R^n$ . Demostrar que hay dos subsecuentes de $(x_n)$ que son convergentes a diferentes puntos límite.

Algunas ideas que pueden ser útiles:

El teorema de Heine-Borel afirma que un subconjunto de $\mathbb R^n$ es compacto si y sólo si es cerrado y acotado.

Teorema de Bolzano-Weierstrass, toda secuencia acotada contiene una subsecuencia convergente

Un número $c$ es un punto límite de $(x_n)$ si existe una sucesión de $(x_n)$ convergiendo a $c$

Answer 1

Por Bolzano Weierstrass se puede sacar una subsecuencia convergente cuyo límite es algún punto $c$ . Como tu secuencia original no puede converger, habrá una subsecuencia que no converja a $c$ . Ahora arranca con cuidado esta subsecuencia para que se mantenga a una distancia positiva fija de $c$ . Pero esta subsecuencia también satisface a Bolzano Weierstrass...

Answer 2

Por Bolzano-Weierstrass $(x_{n})$  tiene una subsecuencia que converge a algún $x$ . Ahora sabemos que $(x_n)$ no converge a $x$ porque es divergente. Por lo tanto, para algunos $\varepsilon>0$ tenemos $x_{n}\notin B(x,\varepsilon)$ para un número infinito de $n$ . Toma estos índices y denota la subsecuencia obtenida por $(x_{n_{k}})$ . Esta secuencia está acotada y tiene un punto límite (por Bolzano-Weierstrass) y es diferente de $x$ .

Por lo tanto, $(x_n)$  tiene dos puntos límite diferentes.

Answer 3

Hay una subsecuencia que converge a limsup de la secuencia original y otra secuencia que converge a liminf de la secuencia original. Como la secuencia original diverge, su limsup y liminf deben ser diferentes.