Derivada total del producto interior.

Question

Dejemos que $$F:\Bbb R^n\times\Bbb R^n\to\Bbb R$$ sea la función $F(x,y)=\langle Ax,y\rangle$ donde $\langle , \rangle$ denota el producto interior estándar en $\Bbb R^n$ y $A$ ser un $n\times n$ matriz real. Si $D$ denota la derivada total. ¿Cuál de las siguientes es correcta?

1). $(DF(x,y))(u,v)=\langle Au,y\rangle+\langle Ax,v\rangle$

2). $(DF(x,y))(0,0)=(0,0)$

3). $DF(x,y)$ puede no existir para algunos $(x,y)\in\Bbb R^n\times\Bbb R^n$

4). $DF(x,y)$ no existe en $(x,y)=(0,0)$

No sé, cómo se define la derivada total para el producto interno. Por lo tanto, dígame la definición de la derivada total en el espacio del producto interno, también diga, ¿Cómo proceder para resolver este problema? Gracias

Answer 1

El producto interior es bilineal, por lo que es de esperar que la derivada exista. La derivada existe si podemos encontrar un mapa lineal $B:\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ tal que $$ \lvert \langle A(x+h),(y+k) \rangle - \langle Ax,y \rangle - B(h,k) \rvert = o(\lvert h\rvert+\lvert k\rvert) $$ como $h,k \to 0$ . Expandiendo el producto interno, encontramos $$ \langle A(x+h),(y+k) \rangle - \langle Ax,y \rangle = \langle Ah,y \rangle + \langle Ax,k \rangle + \langle Ah,k \rangle $$ Entonces el valor absoluto en la definición sólo puede ser $o(\lvert h\rvert+\lvert k\rvert)$ cuando se anulan los dos primeros términos (nótese que $h=|h| (h/|h|)$ etc.). Por lo tanto, tome $$ B(h,k) = \langle Ah,y \rangle + \langle Ax,k \rangle. $$ Ahora sólo hay que demostrar si el resto del lado izquierdo satisface $$ \lvert \langle Ah,k \rangle \rvert = o(\lvert h\rvert+\lvert k\rvert), $$ lo que se puede hacer de la misma manera que mostrar que $\langle Ah,y \rangle=O(h)$ .