Si $a=b^x$, entonces $x$ puede escribirse en términos de $a$ y $b$; $x=\dfrac{\log(a)}{\log(b)}$.
¿$a=b^x+c^x$?
¿Podría escribir $x$ $a, b$ y $c$? $x={}$?
Respuestas
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Jukka Dahlbom
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Lo mejor que podemos hacer (en términos de soluciones algebraicas) es la siguiente: escribir la ecuación como $$ a = \left(e^x\right)^{\ln(b)} + \left(e^x\right)^{\ln(c)} $$ establecimiento $y = e^x$, esto se convierte en una ecuación en $y$: $$ a = y^{\ln(b)} + y^{\ln(c)} $$ O, reorganización, $$ y^{\ln(b)} + y^{\ln(c)} - a = 0 $$ En otras palabras, estamos en busca de $x > 0$ que satisfacer $$ x^\beta + x^\gamma - a = 0 $$ No hay ninguna manera general para resolver por $x$ si $\beta,\gamma$ son enteros, y mucho menos si $\beta$ $\gamma$ puede ser arbitraria de números reales.
Claude Leibovici
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Como Omnomnomnom responde, en general, no habrá soluciones explícitas y métodos numéricos, tales como el de Newton, se va a utilizar.
Teniendo en cuenta $$f(x)=b^x+c^x-a$$ we know that the function is such bracketted by $2 b^x-a$ and $2c^x$ que permite definir un rango aproximado de la solución.
Pero la función de $f(x)$ puede ser muy dura y por lo que la convergencia puede ser muy lento. Si en lugar de considerar $$g(x)=\log(b^x+c^x)-\log(a)$$ de la función, probablemente se vería como una línea recta y la convergencia puede ser muy rápido.
Sólo en caso de necesidad, a partir de una "razonable", supongo que de la solución de $x_0$, método de Newton se actualizará de acuerdo a $$x_{n+1}=x_n-\frac{F(x_n)}{F'(x_n)}$$
Para fines de ilustración, nos deja elegir $b=2$, $c=3$, $a=10^6$. El uso de la delimitación de las funciones, sabemos que la solución de $x$ será más o menos entre el$12$$19$. Así que, vamos a empezar con $x_0=15$.
Con $f(x)$, las sucesivas recorre entonces será $14.1523$, $13.4017$, $12.8562$, $12.6105$, $12.5708$, $12.5699$ cual es la solución para seis cifras significativas.
Haciendo lo mismo con $g(x)$ y el mismo punto de partida, las sucesivas recorre entonces será $12.5713$, $12.5699$. Bastante más rápido, ¿no ?
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Para la estimación inicial de la solución, se puede hacer mucho mejor :
- el uso de la delimitación de las funciones para obtener los límites superiores e inferiores de la solución
- calcular el valor de la función $g(x)$ en estos dos puntos
- suponer que estos dos puntos son a lo largo de una línea recta ($g(x)\approx A x+B$ en el intervalo)
- calcular los parámetros $A$$B$$x=-\frac BA$. Esto da como una estimación $x_0$ de la solución.
Los dos puntos que tienen coordenadas $$x_b=\frac{\log \left(\frac{a}{2}\right)}{\log (b)}~~~~\,~~~~ y_b=\log(b^{x_b}+c^{x_b})-\log(a) $$ $$x_c=\frac{\log \left(\frac{a}{2}\right)}{\log (c)}~~~~\,~~~~ y_c=\log(b^{x_c}+c^{x_c})-\log(a)$$ $$A=\frac{{x_c} {y_b}-{x_b} {y_c}}{{x_c}-{x_b}}~~~~\,~~~~ B= \frac{{y_c}-{y_b}}{{x_c}-{x_b}}$$ $$x_0=\frac {x_c y_b-x_b y_c}{y_b-y_c}$$ Para el ejemplo práctico, esto da $x_0\approx 12.5689$ y una sola iteración de Newton debería ser suficiente.
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Por el camino, se puede utilizar el mismo procedimiento para encontrar la raíz de $$f(x)=\sum_{i=1}^n a_i^x-b=0$$ rewriting it as $$g(x)=\log\Big(\sum_{i=1}^n a_i^x\Big)-\log(b)=0$$ Admitting $a_1>a_2>a_3>\cdots>a_n>1$, the solution will be such that $$\frac{\log \left(\frac{b}{n}\right)}{\log (a_1)}<x<\frac{\log \left(\frac{b}{n}\right)}{\log (a_n)}$$
Si usted es perezoso y no quiere realizar estos cálculos preliminares, desarrollar $g(x)$ como una serie de Taylor en $x=0$ y el uso como la estimación de $$x_0=\frac{n \log \left(\frac{b}{n}\right)}{\log \left(\prod _{i=1}^n a_i\right)}$$
Michael Hardy
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Si $b>1$$b^x\to\infty$$x\to\infty$$b\to 0$$x\to-\infty$.
Si $b>1$$b^x\to\infty$$x\to-\infty$$b\to\infty$$x\to-\infty$.
De cualquier manera, $b^x$ corre a través de todo el intervalo de $(0,\infty)$.
Asimismo, para $c^x$.
Si $b>1$$c>1$$b^x+c^x\to\infty$$x\to\infty$$b^x+c^x\to0$$x\to-\infty$.
Si $b<1$$c<1$$b^x+c^x\to\infty$$x\to-\infty$$b^x+c^x\to0$$x\to\infty$.
De cualquier manera $b^x+c^x$ corre a través de toda la $(0,\infty)$, y por el teorema del valor intermedio, existe una solución si $a>0$.
En esos casos, se puede saber si $x$ es demasiado grande o demasiado pequeño, y después de reducir un poco, utilice el método de Newton.
Si $b>0$ $c<0$ o vice-versa, entonces es más complicado: hay un número positivo que es un mínimo absoluto y existe una solución si, y sólo si, $a\ge\text{the minumum}$.
El mínimo se produce en un valor de $x$ que $\dfrac d{dx}(b^x+c^x)=0$, por lo que $$ b^x\log_e b + c^x \log_e c =0. $$ $$ \left( \frac b c \right)^x = \frac{-\log_e c}{\log_e b} = -\log_b c. $$ $$ x = \log_{b/c} (-\log_b c) = \log_{c/b}(-\log_c b). \tag 1 $$ (Aviso que si bien $b<1<c$ o $c<1<b$ $\log_b c<0$ $-\log_b c>0$ y podemos tomar su logaritmo.) La frase "$x=$" $(1)$ no significa que esa es una solución. Más bien significa que si usted conecte el valor de $x$ a $b^x+c^x$ usted obtiene el menor valor de $a$ para el cual existe una solución.
