Demostrando que para infinite$\kappa$,$|[\kappa]^\lambda|=\kappa^\lambda$

Question

Inicialmente asumir ZFC.

Deje $\binom{\kappa}{\lambda}$ denota $\left|[\kappa]^{\lambda}\right|$ donde $[\kappa]^{\lambda}$ es la colección de todos los subconjuntos de a $\kappa$ con cardinalidad $\lambda$. Es decir, el número de subconjuntos de a $\kappa$ del tamaño de la $\lambda$.

Deje $\kappa$ ser cualquier infinito número cardinal. Entonces es fácil ver que

1. $\binom{\kappa}0=1$
2. $\binom{\kappa}n=\kappa$ para todo número natural positivo $n$.
3. $\binom{\aleph_0}{\aleph_0}=\beth_1$
4. $\binom{\kappa}{\lambda}\le \kappa^\lambda$ al $1\le \lambda \le \kappa$

3 se debe a $\beth_1=\sum_{\lambda=0}^{\aleph_0}\binom{\aleph_0}{\lambda}$ y a otros además de a $\binom{\aleph_0}{\aleph_0}$ sumas $\aleph_0$(desde contable infinito contable infinitos sumas contables infinito)

$\left({}^{\kappa}_{\lambda}\right)\le \kappa^\lambda$ es debido a una inyección puede hacerse de $[\kappa]^{\lambda}$ a $\kappa^{\lambda}$(mapas de $\{a_i|i<\lambda\}$ $\langle a_i\rangle_{i<\lambda}$donde $a_j<a_k$ fib $j<k$)

Mi hipótesis es que la

$$\binom{\kappa}{\lambda}=\begin{cases} \kappa^\lambda,&\lambda \le \kappa \\ 0,& \lambda>\kappa \end{casos}$$

Se mantiene cuando $\kappa=\aleph_0$, pero es difícil inducir a los grandes cardenales sin asumir GCH. Así que necesito un poco de ayuda.

Answer 1

Observar que si $1\leq\lambda\leq\kappa$$\lambda\cdot\kappa=\kappa$. Es decir que se puede tomar $\lambda$ subconjuntos disjuntos de a $\kappa$ del tamaño de la $\kappa$. Luego, mediante la selección de uno de los elementos de cada subconjunto se forma subconjuntos de a $\kappa$ del tamaño de la $\lambda$. El número de subconjuntos es exactamente $\kappa^\lambda$, lo que le da ese $|[\kappa]^\lambda|\geq\kappa^\lambda$.

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Edit: Aquí está la respuesta con algunos detalles más: Vamos a $\{A_\beta : \beta<\lambda\}$ ser el subconjuntos disjuntos de a $\kappa$ y nos deja elegir una enumeración de cada una de las $A_\beta=\{a^\beta_\xi : \xi<\kappa\}$. Dado $f\in\kappa^\lambda$ deje $X_f=\{a^\beta_{f(\beta)} : \beta\in\lambda\}$. Dado $f,g\in\kappa^\lambda$ si $f\neq g$ tenemos que $f(\alpha)\neq g(\alpha)$ algunos $\alpha\in\lambda$, y, por tanto, $X_f\neq X_g$ desde $a^\alpha_{f(\alpha)}\in X_f$ mientras $a^\alpha_{f(\alpha)}\notin X_g$ porque $A_\beta$ son distintos (y, por tanto, $a^\alpha_{f(\alpha)}$ no $A_\beta$ todos los $\beta\neq \alpha$). Por lo tanto la función de $f\mapsto X_f$ es inyectiva, y tenemos, al menos, $\kappa^\lambda$ subconjuntos de a $\kappa$ del tamaño de la $\lambda$.

Answer 2

Para cada$A\in [\kappa]^{\lambda}$, elija un$f_A\in \kappa^{\lambda}$% de manera que$Im(f_A)=A$, luego el asedio$A\longmapsto f_A$ sea uno a uno, y por lo tanto$|[\kappa]^{\lambda}|\leq \kappa^{\lambda}$.

Tenemos ese$|\lambda\times \kappa|=\kappa$, pero cada función$f:\lambda\rightarrow \kappa$ es un subconjunto de$\lambda\times \kappa$ de tamaño$\lambda$, por lo tanto$\kappa^{\lambda}\leq |[\kappa]^{\lambda}|$.

Answer 3

Esto se vuelve más fácil si considera las funciones como conjuntos de pares ordenados. Entonces, cada función desde$\lambda$ a$\kappa$ (el tipo de cosas contadas por$\kappa^\lambda$) es un subconjunto$\lambda$ - element de$\kappa\times\kappa$. Como$\kappa\times\kappa$ tiene$\kappa$ elementos, tiene$\binom\kappa\lambda$ subconjuntos de tamaño$\lambda$.