No tengo ni idea de cómo resolver esta integral: $$ \int_0^{\frac{\pi}{2}-}\frac{dx}{1+\tan^{\sqrt{2}}\left(x\right)} .$ $ más he venido para arriba con es la reescritura como una serie para obtener $$ \int0^{\frac{\pi}{2}-}\sum\limits{n=0}^\infty \left{-\tan^{\sqrt{2}}\left(x\right)\right}^n{dx}, $ $ pero luego me di cuenta de que esto resultó en una serie horrible de integraciones si estuviese integrando término por término y luego girando la respuesta nuevo: $$ \int_0^{\frac{\pi}{2}-}\left[1-\tan^{\sqrt{2}}\left(x\right)+\tan^2 (x)-\tan^{2\cdot\sqrt{2}}(x)+\cdots\right]\,dx, $ $ porque entonces yo no podía resolver $$ \int \tan^\sqrt{2} (x) \, dx. $ $ así que para hacer frente a lo anterior pensé podría ampliar aún más, pero luego me di cuenta de debo ser waaayyyyy fuera de donde debería.
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$$\int{0}^{\frac{\pi}{2}-}\frac{dx}{1+{tan}^{\sqrt{2}}\left(x\right)} = \int{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{{cos}^{\sqrt{2}}\left(x\right)\:dx}{{cos}^{\sqrt{2}}\left(x\right)+ {sin}^{\sqrt{2}}\left(x\right)},$$ $$ \int{0}^{\frac{\pi}{2}-}\frac{dx}{1+{tan}^{\sqrt{2}}\left(x\right)}= \int{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{{sin}^{\sqrt{2}}\left(x\right)\:dx}{{sin}^{\sqrt{2}}\left(x\right)+ {cos}^{\sqrt{2}}\left(x\right)},$$ $$\therefore \int{0}^{\frac{\pi}{2}}\left{\frac{{cos}^{\sqrt{2}}\left(x\right)}{{cos}^{\sqrt{2}}\left(x\right)+{sin}^{\sqrt{2}}\left(x\right)}+\frac{{sin}^{\sqrt{2}}\left(x\right)}{{sin}^{\sqrt{2}}\left(x\right)+ {cos}^{\sqrt{2}}\left(x\right)}\right}dx = \int{0}^{\frac{\pi}{2}}dx=\frac{\pi}{2},$$
que es de hecho dos veces el resultado esperado porque suman los dos integrales, para que esto se debe dividir por dos para obtener $$ \int_0^{\frac{\pi}{2}-}\frac{dx}{1+{tan}^{\sqrt{2}}\left(x\right)} = \boxed{\frac{\pi}{4}.} $ $
Pueden ampliarse para resolver integrales de la forma
$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{{cos}^{n}\left(x\right)\:dx}{{cos}^{n}\left(x\right)+ {sin}^{n}\left(x\right)} .$$
