Localización en un número finito de ideales primos mínimos

Question

Dejemos que $A$ sea un anillo conmutativo con un número finito de ideales primos mínimos $\{p_1,\dots,p_n\}$ . Dejemos que $A_{p_1,\dots,p_n}$ sea la localización de $A$ lejos de los primos mínimos, es decir $S^{-1}A$ donde $S = A-\bigcup_{i=1}^np_i$ .

Pregunta 1 (Contestación): Un artículo que estoy leyendo afirma que $A_{p_1,\dots,p_n} \cong \prod_{i=1}^n A_{p_i}$ . He establecido a mano que el mapa natural de izquierda a derecha es inyectivo, pero la subjetividad parece más difícil. ¿Cuál es la mejor manera de ver este isomorfismo?

Además, el documento utiliza la notación $\text{Frac}(A)$ para $A_{p_1,\dots,p_n}$ (en realidad, $\text{Frac}(A)$ se define como el anillo obtenido al invertir en $A$ todos los divisores distintos de cero en $A_\text{red} = A/\sqrt{0}$ pero es fácil ver que se trata de lo mismo). Esto me parece impar, ya que, hasta donde yo sé, el significado estándar de $\text{Frac}(A)$ es la localización de $A$ en todos los divisores distintos de cero en $A$ . Tenga en cuenta que si $A$ no se reduce, entonces podría haber divisores de cero que no están en ninguno de los primos mínimos, y por lo tanto están invertidos en $A_{p_1,\dots,p_n}$ (ejemplo: $y$ en $\mathbb{Q}[x,y]/(x^2,xy)$ ).

Pregunta 2 (Todavía abierta): ¿Es esta definición de $\text{Frac}(A)$ ¿común? ¿Hay alguna buena razón para preferir esta definición de $\text{Frac}(A)$ sobre el otro en determinadas situaciones (cuando $A$ no se reduce)?

Una observación más: Me he dado cuenta de que con esta definición de $\text{Frac}(A)$ tenemos que un mapa de anillos $A\to B$ se extiende a un mapa $\text{Frac}(A)\to \text{Frac}(B)$ si y sólo si la imagen inversa de cada ideal primo mínimo en $B$ es un ideal primo mínimo de $A$ . Geométricamente, esto dice que el mapa $\text{Spec}(B)\to\text{Spec}(A)$ mapea puntos genéricos de componentes irreducibles a puntos genéricos de componentes irreducibles. Tal vez esto sea relevante...

Answer 1

1) Que $\phi : A \to \prod_{i=1}^n A_{p_i}$ sea el mapa natural (es decir, el producto de los mapas de localización). Cada elemento de $S$ se envía a una unidad bajo $\phi$ por lo que existe un mapa inducido $\varphi : S^{-1}A \to \prod_{i=1}^n A_{p_i}$ . Pero $\varphi$ es localmente un isomorfismo (en cada ideal maximal $p_i$ de $S^{-1}A$ , $\varphi_{p_i} : (S^{-1}A)_{p_i} \cong A_{p_i} \to (\prod_{i=1}^n A_{p_i})_{p_i} \cong A_{p_i}$ ), por lo que $\varphi$ es globalmente un isomorfismo.

2) Para un anillo reducido, el conjunto de no zerodivisores es precisamente el complemento de la unión de los primos mínimos (esto es fácil de ver en el caso noeteriano, pero también es válido en general). Por tanto, en este caso las dos nociones de anillo total de fracciones coinciden.