Esta pregunta es un poco en el espíritu de este en que estoy tratando de entender el camino más eficiente para los principales integral de teoremas (Fubini, el cambio de variables, etc).
Mi pregunta es esta: Si uno se demuestra teoremas respecto a la integral de Lebesgue no lo es así que de forma análoga teoremas sobre la integral de Riemann son inmediatas consecuencias? Así, por ejemplo, se puede demostrar que el cambio de variables teorema se cumple para la integral de Lebesgue en Lebesge-mesurable conjuntos y, a continuación, tomar como corolario el correspondiente cambio de variables teorema de la integral de Riemann, por ejemplo, Jordan-medible? Hay casos en los que este enfoque no?
Nota, no estoy realmente interesado en el argumento de si uno debe o no debe "aprender" la integral de Riemann o si un determinado enfoque pedagógico de sonido; estoy muy interesado sólo en la "lógica de la eficiencia", por falta de una mejor forma de estado.
Actualización 12/28/2011 Me estoy dando más a fondo de esta cuestión en la esperanza de que los detalles adicionales permitirán a alguien para proporcionar un poco de dirección. También he añadido el auto-aprendizaje de la etiqueta para reflejar con más precisión la intención. Estoy haciendo esta pregunta, básicamente, para averiguar si realmente necesito aprender la teoría de la clásica de la integral de Riemann en múltiples dimensiones, teniendo en cuenta el hecho de que tengo el plan de estudio de la teoría de la integral de Lebesgue. Sé, por supuesto, los fundamentos de la $n$-dimensiones de Riemann integral, incluyendo las declaraciones y aplicación de Fubini y el Cambio de Variables. El aprendizaje de las pruebas de estos teoremas, especialmente el Cambio de Variables, es una buena cantidad de trabajo.
Esta dificultad de esto se ve agravado por el hecho de que cada autor parece tener sus propias especializados notaciones y técnicas que difieren en cada forma imaginable. Binario cuadrículas, diádica cubos, generalizada, cajas, etc. Sí, la idea básica es que estamos creando una partición y la inspección de la parte superior/inferior sumas de dinero para la igualdad como el tamaño de la malla tiende a $0$, pero, de nuevo, no parece haber un enfoque común con respecto a los detalles. Además, parece ser que no existe un acuerdo común sobre qué "volumen". Algunos textos incluso definir el volumen en términos de la integral sobre un cubo unitario/plaza/caja, etc.
En contraste, la teoría de la Medida y la integral de Lebesgue parece muy limpias y bien apretadas y hay un mucho mayor nivel de coherencia entre las presentaciones. Los resultados, como yo lo entiendo, son más ampliamente aplicable y teniendo en cuenta el hecho de que quiero llegar a ser competente en esta teoría, de todos modos, estoy tratando de entender si lo necesita para ir a través de todos los detalles escabrosos de la integral de Riemann. Ya sé cómo aplicar la definición de la integral de la teoría de la integración para resolver concretas a problemas de integración.
Así que, finalmente, ¿qué puedo perder si me ignoran la mayor parte de la teoría de la integral de Riemann y simplemente aprendí que la integral de Lebesgue (que me parece ser un proceso mucho más agradable tarea!)?
