¿Cómo hallar el teorema de Casorati-Weierstrass? ¿Podemos encontrar el fenómeno a partir de una función clásica: $\exp\left(\frac{1}{z}\right)$ ?

Question

La primera vez que vi el Teorema de Casorati-Weierstrass en Análisis Complejo, me quedé de piedra:

Teorema de Casorati-Weierstrass supongamos que $f$ es holomorfa en el disco punzante $D_r(z_0)-\{z_0\}$ y tiene una singularidad esencial en $z_0$ . Entonces, la imagen de $D_r(z_0)-\{z_0\}$ en $f$ es denso en el plano complejo.

¿Cómo descubrieron Casorati y Weierstrass este teorema? ¿Exploraron algún ejemplo concreto y encontraron este fenómeno? En muchos libros aparece una función compleja clásica como ejemplo de singularidad esencial. Se trata de $$f(z)=\exp\left(\frac{1}{z}\right)$$

En $z_0=0$ no es una singularidad removible y singularidad Pole.por lo que es una singularidad esencial. Y quiero ver el fenómeno anterior( $f$ es denso en el plano complejo) a partir de este caso especial. Conjunto $z=re^{i\theta}$ entonces $$f(z)=\exp\left(\frac{\cos\theta}{r}\right)\cos\left(\frac{\sin\theta}{r}\right)-i\exp\left(\frac{\cos\theta}{r}\right)\sin\left(\frac{\sin\theta}{r}\right)$$ Si considero $f$ como una correspondencia de $Z$ a $W$ . ¿Encontraron este fenómeno al estudiar la imagen en el plano complejo $W$ ? Para simplificar, considero la imagen del círculo en $Z$ plano. Para un $r$ y $0\leq\theta <2\pi$ las siguientes ecuaciones paramétricas dan una imagen en $W$ avión: $$\begin{cases}x(r,\theta)=\exp\left(\frac{\cos\theta}{r}\right)\cos\left(\frac{\sin\theta}{r}\right)\\y(r,\theta)=\exp\left(\frac{\cos\theta}{r}\right)\sin\left(\frac{\sin\theta}{r}\right) \end{cases}$$

Para una gran $r$ la imagen parece un punto en el eje real de coordenadas $(1,0)$ .so the reason cause its dense in $W$ debe ascender a $r$ cerca de $0$ . entonces quiero ver la forma exacta de la imagen en $W$ . entonces utilicé Máxima para dibujar la figura de $r$ cerca de $1$ .:

Es hermoso. y simetría axial del eje real. Pero no puedo ver algún fenómeno profundo. ¿Cómo podemos encontrar este fenómeno a partir del estudio de este caso especial?

Answer 1

Es un teorema espectacular, y la verdad completa es aún más espectacular. Si $f$ tiene una singularidad esencial en $z=z_0$ entonces la ecuación $f(z) = w$ tendrá infinitamente muchos soluciones en cada vecindad (perforada) de $z_0$ con un valor excepcional como máximo (de $w$ ). Esto se conoce como el gran teorema de Picard.

Para verificar Weierstrass-Casorati (o incluso el gran Picard) para este ejemplo concreto, basta con resolver la ecuación

$$\exp\big(\frac1z\big) = w$$

cuyas soluciones son

$$z = \frac{1}{\log w} = \frac{1}{\ln|w| + i\operatorname{Arg} w + 2\pi i k}$$

para $k \in \mathbb{Z}$ . Es fácil ver que por cada $w\neq 0$ hay soluciones $z$ cuyo módulo es arbitrariamente pequeño (eligiendo un valor grande de $k$ ).