Ley de grandes números de SN Bernstein

Question

mientras que la lectura de un documento llamado "Red de Incrustación como la Factorización de la Matriz: UnifyingDeepWalk, LÍNEA, PTE, y node2vec" (http://keg.cs.tsinghua.edu.cn/jietang/publications/WSDM18-Qiu-et-al-NetMF-network-embedding.pdf), los autores dan en el Apéndice un lexema que se expresa de la siguiente manera:

(S. N. Bernstein Ley de los Grandes Números) Deje $Y_1,Y_2,\ldots$ ser una secuencia de variables aleatorias con finito expectativa $E(Y_j)<\infty$ (que, según mi entender, es invariante por diferentes $Y_i$), y uniformemente acotada varianza $Var(Y_j)<K<\infty$, $j\geq 1$, y covarianzas s son.t. $$ Cov(Y_i, Y_j)\rightarrow 0, |i-j|\rightarrow\infty $$ Entonces la ley de gran número de bodegas.

Sin embargo, no he logrado encontrar una prueba, o una declaración similar de Bernstein de la Ley de los Grandes Números después traté de google. Los autores citados para este lema Problemas en las Probabilidades de Albert N. Shirjaeva, que creo que es un libro de ejercicios.

El hecho interesante es que la declaración no se asume que las variables aleatorias son independientes.

Alguien podría decirme donde puedo encontrar la fuente del teorema y de la prueba? Gracias!

Espero que esta pregunta es la adecuada; si no, por favor, dime y yo te lo quite.

Answer 1

Bueno.. creo que soy capaz de demostrar a mí mismo, después de mirar en él.

Escribir $S_n=\sum_{i=1}^n Y_i$, e $E(Y_i)=\mu$, tenemos $$ P(|S_n/n-\mu|>\epsilon)\leq \frac{Var(S_n/n)}{\epsilon^2} $$

Y \begin{eqnarray} Var(S_n/n) = \frac{1}{n^2}Var(S_n) = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n Cov(Y_i, Y_j)\leq \frac{1}{n^2}(nK+\sum_{i\neq j} Cov(Y_i,Y_j)) \end{eqnarray}

El uso de la condición, supongamos que $|i-j|>M$ implica $Cov(Y_i, Y_j)<\lambda$ donde $\lambda$ puede ser tomado arbitrariamente pequeño, y supongamos que $n>M$, tenemos \begin{eqnarray} \frac{1}{n^2}(nK+\sum_{i\neq j} Cov(Y_i,Y_j)) & = & \frac{1}{n^2}(nK+\sum_{|i-j|\leq M, i\neq j}Cov(Y_i,Y_j) + \sum_{|i-j|>M} Cov(Y_i,Y_j)) \\ &\leq &\frac{1}{n^2}(nK+\sum_{|i-j|\leq M, i\neq j}Cov(Y_i, Y_j) + n^2\lambda) \\ &= & \frac{1}{n^2}(nK+ n^2\lambda + \sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^{i+M} Cov(Y_i, Y_j) ) \\ & \leq & \frac{1}{n^2}(nK + n^2\lambda + n(M-1)K) \end{eqnarray}

Por lo suficientemente grande $M$, elija $N>M$ tal que cuando se $n>N$, el último término es controlado arbitrariamente pequeño; entonces vemos que se va a cero.

Conclusión: siempre tratar de resolver el problema antes de preguntar o buscar en google sobre ella.