Probar que la función es continua sin conocer explícitamente la función

Question

Deje $f\colon \mathbb R^+\to\mathbb R$ ser una función que satisface las siguientes condiciones: $$\tag1 \lim_{x\to 1}f(x)=0 $$ $$\tag2f(x_1)+f(x_2)=f(x_1x_2)$$ Mostrar que $f$ es continua en su dominio.

Me las arreglé para mostrar que $f$ es continua en a $x=1$, pero no tengo idea de cómo seguir desde allí. Esto es lo que he hecho hasta ahora:

Debido a $\lim_{x\to 1}f(x)=0$, para cada ϵ>0 existe un d>0, por lo que $$0<|x - 1|<δ⇒|f(x)-0|<ϵ$$

Para probar la continuidad en $x=1$ es suficiente para demostrar que $f(1)=0$ usando la condición 2): $$f(1)+f(1)=f(1 ·1)$$ $$f(1)=f(1)-f(1)$$ $$f(1)=0$$ Así que ahora tenemos la definición de continuidad en $x=1$: $$|x - 1|<δ⇒|f(x)-f(1)|<ϵ$$

Answer 1

Se han mostrado continuidad en $x=1$, es decir, $$\lim_{x\to1}f(x)=f(1).$$ En consecuencia, para cualquier $x_0\ne0$ $$\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}f\left(\frac x{x_0}\cdot x_0\right)=\lim_{x\to x_0}\left(f\left(\frac x{x_0}\right)+f(x_0)\right)=f(1)+f(x_0)=f(x_0).$$