¿Cuál es el primer término de la secuencia aritmética$3,7,11, \ldots$ que supera$200$?

Question

Los primeros tres términos de una secuencia son$3,7,11$. ¿Cuál es el primer término para exceder 200?

Esto es lo que hice hasta ahora:

Diferencia común: $T_2-T_1 = 7-3=4.$

$200 + 4=204$

Por lo tanto,$204$ es el primer término que supera$200$. Pero cuando lo sustituyo:$204=3+(n-1)4$

$204=3+4n-4$

$204=-1+4n$

$204+1=4n$

$205/4=n$

$n=51.25$

¡No parece correcto! ¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Si$3,7,11$ son los primeros 3 elementos de una secuencia aritmética, entonces la secuencia es$3+4(n-1)$.

Desea el$n$% más pequeño de forma que$3+4(n-1)>200$, o$4n>201$, o$n>50.25$, por lo que$n=51$ es el más pequeño, el elemento 51 de la secuencia es$203$ (la anterior es$199$).

Answer 2

Ya hemos obtenido la fórmula (correcta)$$T_n := 3 + 4 (n - 1)$$ for the $ n$th term of the sequence, and we want to find the smallest $ n$ for which $ T_n> 200 $. Sustituir nuestra fórmula y reordenar da la desigualdad (equivalente)$$n > \tfrac{201}{4}.$ $ ¿Cuál es el entero más pequeño$n$ que satisface esto?

Answer 3

Su enfoque es correcto, pero calculó mal cuál será el primer término sobre$200$. El primer término sobre$200$ será en realidad$203$. Para ayudar a convencerse de esto, tenga en cuenta que todos los términos de la secuencia deben ser extraños.

Su secuencia se puede escribir como$T_n=3+4(n-1)$.

Como deseamos determinar el término que excede$200$, escribimos$T_n=3+4(n-1)>200$

Resolviendo de nuevo, obtenemos$n=50.25$. Redondeando para tener en cuenta los términos de números enteros, obtenemos$n=51.$

Finalmente, $T_{51}=3+4(51-1)=203$