¿El producto de dos estabilizadores de una acción de grupo transitiva es un subconjunto propio de G?

Question

Supongamos que $G$ es un grupo finito y G actúa transitivamente sobre algún conjunto $X$ . Sea $a$ y $b$ sean dos elementos distintos de $X$ y $G_{a}$ y $G_{b}$ sean estabilizadores de $a$ y $b$ Demuestre que $G_{a}$ . $G_{b}\subsetneq $$ G$.

Por el teorema del estabilizador orbital sé que $\bigm|G_{a}\bigm|$ $\bigm|X\bigm|= \bigm|G\bigm|$ y $\bigm|G_{b}\bigm|$ $\bigm|X\bigm|= \bigm|G\bigm|$ combinando ambas igualdades se obtiene: $\bigm|G_{a}\bigcup G_{b}\bigm|$ $\le$ 2( $\frac{\bigm|G\bigm|}{\bigm|X\bigm|}-1)$ $+$$ 1$ Pero no tengo ni idea de cómo seguir adelante?

Answer 1

Supongamos que $g\in G$ envía $a$ a $b$ . Si $G=G_aG_b$ entonces $g=uv$ donde $u\in G_a$ y $v\in G_b$ . Entonces $b = a^g = a^{uv} = a^v,$ así que $a = b^{v^{-1}}$ . Pero.., $G_b$ es un subgrupo de $G$ Así que $v\in G_b$ implica que $v^{-1}\in G_b$ Así que $a = b$ una contradicción.