Demuestre que si $f$ es continua en $a$ y $f(a)≠0$ entonces $f$ es distinto de cero en una bola abierta alrededor de $a$ .

Question

Esta es la cuestión que me ocupa:

Dejemos que $U$ sea un conjunto abierto de $\mathbb{R}^{n}$ , $f:U\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ una función y $a\in U$ un punto determinado.

Demuestre que si $f$ es continua en $a$ y $f(a)\neq 0$ entonces existe $r> 0$ tal que $B'_{r}(a)\sqsubseteq$ $U$ y $f(x)\neq0$ para cada $x\in$ $B'_{r}(a)$ .

No estoy seguro de nada de lo que he hecho hasta ahora pero creo que desde $f$ es continua y $f(a)\neq 0$ , $|f(a)|>0$ por cada $a$ . Si elijo $r$ como $1/n$ para algunos $n\in\mathbb{N}$ (propiedad arquimédica) tal que $|f(a)|>1/n>0$ entonces $x$ sería tanto en $B'_{r}(a)$ y $f(x)\neq 0$ . ¿Es correcta mi forma de pensar? Siento que me estoy perdiendo algo, porque no he utilizado f siendo continua como debería.

Answer 1

$V=\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ está abierto. Como $f$ es continua $f^{-1}(V)$ la imagen inversa bajo $f$ está abierto. Y también contiene $a$ . Por lo tanto, existe una bola abierta $B(a,2r)$ centrado en $a$ de radio $2r$ incluido en $f^{-1}(V)$ . La bola cerrada $B^\prime(a,r)$ se incluye en $f^{-1}(V)$ por lo que es la imagen bajo $f$ se incluye en $V$ . Por lo tanto, $f(x) \neq 0$ para $x \in B^\prime(a,r)$ como se suponía que debía demostrarse.

Incluso puede obtener un resultado ligeramente mejor. $B^\prime(a,r)$ es compacto. Así que su imagen directa $f(B^\prime(a,r))$ bajo el mapa continuo $f$ es compacto. Como $0 \notin f(B^\prime(a,r))$ la distancia $d(f(B^\prime(a,r)),0)$ es estrictamente positivo. Por lo tanto, existe $\alpha > 0$ tal que $f(x) \ge \alpha > 0$ para $x \in B^\prime(a,r)$ .

Answer 2

Toma $g:U \rightarrow \mathbb R: x \mapsto \|f(x)\|$ . La función $g$ es continua (¿por qué?). Tome el intervalo $I=(\tfrac 12 \|f(a)\|, \tfrac 32 \|f(a)\|)$ . Porque $g$ es continua $g^{-1}(I)$ es abierta y, por tanto, una vecindad de $a$ (porque $a\in g^{-1}(I)$ ). Ahora debería demostrar fácilmente la existencia de la $r> 0$ ... (Nótese que para cada $x\in g^{-1}(I)$ tienes $f(x) \neq 0$ (¿Por qué?)

Answer 3

$f$ tiene la propiedad de que si $x_n$ es una secuencia que converge hacia $a$ entonces $f(x_n)$ converge hacia $f(a)$ .

Se puede suponer (por contradicción) que existe un punto arbitrariamente cercano a $a$ que satisfagan $f(x) = 0$ . Con esto, se puede definir una secuencia $x_n \rightarrow a$ . Ahora, utilice la propiedad anterior y derive una contradicción. Te dejaré los detalles.

Answer 4

$\left \| f(a)) \right \|\neq 0\Rightarrow \exists V$ abrir en $R^{n}$ que contiene $f(a)$ y s.t $v\in V\Rightarrow \left \| v \right \|> 0$ . Esto se debe a que la norma es continua, es decir, el mapa $v\rightarrow \left \| v \right \|$ es continua. Pero ahora, como $f$ es continua, existe un $U'$ abrir en $R^{n}$ s.t. $a\in U'$ y $f(U')\sqsubseteq V$ . Ahora sólo tome cualquier bola contenida en $U\cap U'$ y el resultado es el siguiente.