Hilbert ' s Hotel e infinitos para estudiantes preuniversitarios

Question

Hilbert de la paradoja de la grand hotel es un divertido y emocionante suelo a base de una charla sobre el conjunto teórico del concepto de infinito para los estudiantes interesados - incluso en personas de mediana y alta escuela. Sin embargo, no trata con la cuestión de que si hay diferentes infinitos o no.

Pregunta 1. Es necesario hablar de uncountability de $\mathbb{R}$ después de una sesión de Hilbert del hotel paradoja?

Pregunta 2. Cuando la enseñanza de talentosos estudiantes de la escuela intermedia, es adecuado utilizar el Cantor de la diagonal argumento para demostrar que $\mathbb{R}$ es incontable? Podemos tener esperanza de los estudiantes a comprender la idea de la prueba? ¿Cómo puede la idea de ser iluminado?

Answer 1

Definitivamente no es necesario hablar de la uncountability de $\Bbb R$, en cualquier momento. O incluso la mención de los números reales. La mayoría de la gente que no juegue con las matemáticas para un poco, no puede ni siquiera entender lo que significa ser un número real y a menudo me encuentro que al intentar iniciar y explicar a alguien qué es un número real, hacen algún esfuerzo para comprender, pero que tienen en blanco, la mirada perdida, y los pierdo.

Yo creo que después de hablar acerca de Hilbert del gran plan de jubilación, uno debe explicar que existen diferentes tamaños de infinito. Que los números naturales hacer que los más pequeños infinito y hay más grandes. Si uno es empujado contra la pared, luego de mencionar el juego de poder de $\Bbb N$ parece un mejor ejemplo de lo que $\Bbb R$. Sobre todo porque de las muchas falsas pruebas para la countability de $\Bbb R$, que son los que realmente intuitiva y hará que el oyente para hacer una pausa y pensar que han encontrado un problema con la teoría de conjuntos. Conjuntos de poder, por otro lado, son menos intuitiva para nosotros y es más fácil aceptar ese hecho.

En cuanto a la segunda pregunta, creo que la diagonal argumento, si se presentan con cuidado, es una buena manera de mostrar a alguien que es capaz de entender lo que son los números reales, lo que es una prueba inductiva, y ¿qué significa "tomar una arbitraria lista de los números reales", que los números reales son innumerables.

Pero como he señalado en repetidas ocasiones, asegúrese de que los estudiantes tienen una comprensión razonable de lo que significa ser un número real, y que ellos tienen una idea acerca de cómo funciona el mecanismo de la prueba de obras (antes de presentar la prueba, por supuesto).

Quizás el método más sencillo sería mostrar que el conjunto de todas las secuencias binarias, decimal o de secuencias, es incontable. Sólo explicar, entonces, que a cada número real se puede representar de forma única mediante un infinito [cero] de expansión, y a la conclusión de que los números reales son, de hecho, innumerables.

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Usted también puede encontrar un montón de enlaces de la m.SÍ, así como una discusión mostrando común falacias, y la incomprensión de algunos maquinaria básica de la prueba, relativa a la diagonal argumento en mi respuesta, y sus comentarios.

Answer 2

Los números reales son la mejor manera de evitarlo hasta que correctamente tratada, lo que requiere una buena dosis de análisis. Uncountability puede ser demostrado en otros conjuntos. Tuve, en varias ocasiones ya, explicó Hilbert del Hotel para los niños de diversas edades. Después de que el hotel parece que nunca se llenan, que me trae en una infinita cantidad de familias para el hotel. Cada familia tiene un hijo. Cada niño tiene una infinita cadena de juguetes. Hay dos tipos de juguetes, solo, para que cada niño tiene una infinita cadena de sólo estos dos tipos de juguetes. La diagonal argumento es el dado por la hipótesis de que cada familia tiene una habitación, y luego mirando al chico cuya cadena de juguetes es el complemento de la diagonal de la cadena. Voila, el hotel no puede dar cabida a todas las familias.

Alternativamente/junto, usted puede probar el Cantor del Teorema (que el juego de poder de un conjunto siempre es de mayor cardinalidad que el conjunto) a casi nadie.

Answer 3

No veo ninguna razón que usted necesita para obtener en innumerables conjuntos si solo quieres jugar con cosas raras que puede ocurrir con los conjuntos infinitos.

En cuanto a tu segunda pregunta, yo recuerdo haber visto el argumento para uncountability de $\mathbb R$ en la escuela primaria y se pegó bastante bien, y no me considero ha sido especialmente precoz, así que no veo ninguna razón por la que no podemos lograr que los estudiantes de secundaria a entenderlo así. (Comentamos algunos matices sobre la repetición de $0$'s vs repitiendo $9$'s en la expansión decimal, pero, por supuesto, una inteligente elección de renumeración evita este problema.)

No estoy de acuerdo con Ittay y de Asaf. Seguro, la definición que la mayoría de los estudiantes tienen de $\mathbb R$ (generalmente algo inane como todos los racionales, además de todos los irrationals) hace buenos para las matemáticas, pero también trabajan con números reales de todos modos y expansiones decimales son todo lo que usted necesita. Y el uncountability de $\mathbb R$ es más convincente tema de la uncountability del conjunto de las infinitas secuencias binarias, que los estudiantes nunca trabajar.

Permítanme decir que si usted va a entrar en el uncountability de $\mathbb R$, es probable que desee para ilustrar que $\mathbb Q$ es contable (o, al menos, los racionales positivos), ya que 1) esto no es en absoluto evidente en la primera exposición y 2) hace que el hecho de que $\mathbb R$ es incontable más interesante.

Mientras que mi propia experiencia me dice que absolutamente puede enseñar Cantor diagonal de argumento para pre-universitarios, también he visto a algunos estudiantes de la universidad no grok Cantor diagonal del argumento, así que aquí hay dos cosas que hacen que sea más digerible:

He visto que la gente utilice el siguiente juego como un calentamiento para el Cantor de la diagonal argumento. El jugador 1 se inicia la escritura de la secuencia de $X$'s y $O$'s de longitud $n$. ($n=5$ parece ser adecuadas para la comunicación de la idea.) Luego el Jugador 2 escribe una sola $X$ o $O$. Después de $n$ vueltas de esto, el Jugador 2 tiene una secuencia de longitud $n$, y gana, si es diferente de cualquiera de las secuencias de Jugador 1 ha escrito, y el Jugador 1 gana de otra manera. El jugador 2 la estrategia ganadora es, por supuesto, el Cantor de la diagonal argumento.

También me gustaría introducir Euclides prueba de que existen infinitos números primos como un preludio de la muestra $\mathbb R$ es incontable. La lógica básica de esquema es el mismo: cada finito lista omite un primo, y cada countably infinita lista omite un número real. Yo creo que haciendo Euclides primera es una bonita forma de modelar la arquitectura básica de la prueba, de modo que la estructura lógica es un poco más fácil de seguir. Además, Euclides prueba es hermoso y muy interesante en su propio derecho.

Answer 4

Pregunta 1. Es necesario hablar de uncountability de R después de una sesión de Hilbert del hotel paradoja?

No, no en el primer día—una introducción al concepto de que las habitaciones adicionales pueden estar disponibles por sólo re-organización de las personas en un hotel con ninguna vacante es suficiente para masticar durante un día. Yo incluso podría dividir esto en dos días.

En el día uno, muestran cómo 10 nuevas personas puede ser determinado de habitaciones por tener todos se mueven en la sala N+10. Esto libera habitaciones 1-10. Para hacer la tarea, pregunte cómo puede el hotel dar cabida a un número infinito de visitantes, uno por cada habitación ocupada? Una segunda discusión, después de que los estudiantes han dado a esto algún pensamiento sería productivo.

Pregunta 2. Cuando la enseñanza de talentosos estudiantes de la escuela intermedia, es apropiado para el uso de Cantor diagonal de argumento para probar que R es incontables? Podemos tener esperanza de los estudiantes a comprender la idea de la prueba? ¿Cómo puede la idea de ser iluminado?

El fallecido Herbert Enderton que escribió los Elementos de la Teoría de conjuntos tenido una excelente introducción a este:

Digamos que usted está en pre-escolar, y usted ha oído que tienen las clases de matemáticas, y se atreven a asistir, ya que sólo puede contar hasta 3. [Mostrar en la pizarra, proyector de una imagen de 5 viviendas y 5 personas.] Efectivamente, en el primer día que te muestran esto muchas casas y la gente, y preguntar si hay tantas casas como hay gente?

Su corazón se hunde. ¿Cómo puede responder a esta si hay más casas y la gente que se puede contar? [Pida a los estudiantes en busca de respuestas.]

Para recoger su lápiz de cera, y el partido de las casas a la gente en un uno-a-uno la correspondencia. Ya que no hay ninguno a la izquierda encima, debes saber que hay tantas casas como personas existen. Y usted no tiene que contar últimos 3.

Hay conjuntos infinitos más grandes que podemos contar, así que vamos a aplicar la misma lógica, como hicimos en el pre-escolar con el crayón. Etc.