Encuentre el valor de $f''(2).g''(2)$

Question

Si $f(x)$ y $g(x)$ son dos funciones diferenciables en R+ tales que $xf'(x)+ g(x)=0$ y $xg'(x)+ f(x)=0$ para todo $x \in R^+$ y $f(1)+g(1)=4$ entonces ¿cuál es el valor de $f''(2).g''(2)$?

Equiparé el valor de $x$ para ambas ecuaciones dadas y luego integraré para obtener $g^2(x)=f^2(x)+C$ pero no me lleva a $f''(2).g''(2) ¿Alguien podría darme una pista?

Answer 1

$$xf'(x)+ g(x)=0\to xf''(x)+f'(x)+g'(x)=0\quad (1)$$

$$xg'(x)+ f(x)=0\to xg''(x)+f'(x)+g'(x)=0\quad(2)$$

so $(1)-(2)$ nos da

$$x(f''(x)-g''(x))=0\to f''(x)=g''(x), \text{ para $x\ne0$}.$$

y usando el resultado de @Salahamam ($f(x)+g(x)=4/x$) obtenemos que

$$f'(x)+g'(x)=-\frac{4}{x^2}$$

y luego volviendo a $(1)$

$$f''(x)=\frac{4}{x^3}$$

y entonces

$$f''(2)g''(2)=(f''(2))^2=\frac{1}{4}$$

Answer 2

sugerencia

$$\frac {d (xf (x)+xg (x))}{dx}=$$ $$xf'(x)+g (x)+xg' (x)+f (x) =0$$

$$\implies x (f (x)+g (x))=4$$

Al diferenciar tu primera ecuación y reemplazar $ xg'(x) $ en la segunda, encontramos que $ f $ satisface $$x^2f''(x)+xf'(x)-f (x)=0$$ lo cual da $f (x)=\frac {2}{x}=g (x) $ y $$f''(2)g''(2)=\frac {16}{64} =1/4$$