La lucha contra la desigualdad implica un montón de coeficientes binomiales

Question

Quiero encontrar un límite inferior en $n$ es decir, aislar $n$ o más realista, aproximado $n$ que satisface lo siguiente:

$$ {n \choose k} \left ( 1 - \frac {{n \choose \frac {n-1}{2} - k}}{{n \choose \frac {n - 1}{2}}} \right )^{n - k} < 1 $$

Esto sería útil para algún argumento probabilístico. Pero me quedo atascado fácilmente. Las desigualdades $( \frac {n}{k})^k \leq {n \choose k} \leq ( \frac {en}{k})^k$ y $(1 - x)^k \leq e^{-xk}$ seguramente sería útil aquí...

Además, sé que la desigualdad ${n \choose k} \left ( 1 - 2^{- k} \right )^{n - k} < 1$ está satisfecho cuando $n > k^2 2^k ( \ln (2) + 1)$ . Esperaría que lo anterior tuviera un límite más bajo, algo así como $n > k 2^k ( \ln (2) + 1)$ tal vez. ¿Pero cómo puedo verificar eso?

Answer 1

Parece lo siguiente.

Empieza con un enfoque sencillo. Supongamos que $n \gg k$ . Luego

$$A(n) \equiv \frac {{n \choose \frac {n-1}{2} - k}}{{n \choose \frac {n - 1}{2}}}=$$ $$ \frac { \left ( \frac {n-1}{2} \right )! \left ( \frac {n+1}{2} \right )!}{ \left ( \frac {n-1}{2}-k \right )! \left ( \frac {n+1}{2}+k \right )!}=$$ $$ \frac { \left ( \frac {n-1}{2} \right ) \left ( \frac {n-1}{2}-1 \right ) \cdots \left ( \frac {n-1}{2}-k+1 \right )} { \left ( \frac {n+1}{2}+k \right ) \left ( \frac {n+1}{2}+k-1 \right ) \cdots \left ( \frac {n+1}{2}+1 \right )}=$$ $$ \frac { \frac {n^k}{2^k}- \frac {n^{k-1}}{2^{k-1}} \sum_ {i=0}^{k-1} in^{k-1}+O(n^{k-2})}{ \frac {n^k}{2^k}+O(n^{k-1})}=$$ $$1-k(k-1)n^{-1}+O(n^{-2}).$$

Luego

$$1>{n \choose k}^{ \frac {1}{n-k}}(1-A(n))=$$ $$ \left ( \frac {n^k}{k!}+O(n^{k-1}) \right )^{ \frac {1}{n-k}} (k(k-1)n^{-1}+O(n^{-2}))=$$ $$ \left (1+o(1) \right )(k(k-1)n^{-1}+O(n^{-2}))=$$ $$k(k-1)n^{-1}+o(n^{-1}).$$

Así que podemos aproximarnos $n$ como $k^2$ . Pero si $n \sim k^2$ entonces nuestra estimación para $A(n)$ parece no ser bueno, así que tenemos que ajustarlo.