Quiero encontrar un límite inferior en $n$ es decir, aislar $n$ o más realista, aproximado $n$ que satisface lo siguiente:
$$ {n \choose k} \left ( 1 - \frac {{n \choose \frac {n-1}{2} - k}}{{n \choose \frac {n - 1}{2}}} \right )^{n - k} < 1 $$
Esto sería útil para algún argumento probabilístico. Pero me quedo atascado fácilmente. Las desigualdades $( \frac {n}{k})^k \leq {n \choose k} \leq ( \frac {en}{k})^k$ y $(1 - x)^k \leq e^{-xk}$ seguramente sería útil aquí...
Además, sé que la desigualdad ${n \choose k} \left ( 1 - 2^{- k} \right )^{n - k} < 1$ está satisfecho cuando $n > k^2 2^k ( \ln (2) + 1)$ . Esperaría que lo anterior tuviera un límite más bajo, algo así como $n > k 2^k ( \ln (2) + 1)$ tal vez. ¿Pero cómo puedo verificar eso?