Sabemos que una topología en $A$ es un subconjunto del conjunto potencia de $A$, con dos propiedades;
$1)$ es cerrado bajo la intersección finita y Unión arbitraria.
$2)$ debe incluir $A$ y el conjunto vacío.
Ahora, si $A$ es un finito con $n$ elementos, ¿cuántas topologías pueden definirse en $A$?
O, ¿cuántas topologías pueden ser definidas en $A$ hasta un Homeomorfismo?
Este problema parece trivial. Cualquiera de los documentos que he encontrado sobre el tema sugieren que este es todavía un problema abierto. Vea la siguiente pregunta en MathOverflow:
También puedes ver el siguiente artículo:
El Número de Topologías sobre un Conjunto Finito
O este papel:
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