Minimización de una funcional con una condición de frontera libre

Question

<blockquote> <p>Encontrar la extremales de la funcional $$\text{J}(y)= y^2(1) + \int_0^1 y'^2(x)dx , \ \ y(0)=1.$ $ respuesta: $y(x)=1-\frac{1}{2}x$</p> </blockquote> <p>Mi solución:</p> <p>$ F (x,y,y')=y'^2(x)$</p> <p>Después de resolver la ecuación de Euler Lagrange obtenemos $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2y')=0$</p> <p>Lo que implica que el $y=\frac{a}{2}x+b$, con la condición de valor inicial obtenemos $b=1$. ¿Podría por favor ayudarme a encontrar el valor de $a$?</p>

Answer 1

Sugerencias:

1. Si uno varía infinitamente la funcional $$J[y]~:=~y(1)^2 + \int_0^1! dx~ y^{\prime}(x)^2\tag{1}$ $ sin descartar contribuciones de límite, uno encuentra $$ \delta J[y]~=~ 2 y(1)~\delta y(1) + 2\int0^1! dx~ y^{\prime}(x) ~\delta y^{\prime}(x)$ $ $$~\stackrel{\text{int. by parts}}{=}~ 2\left[ y(1) + y^{\prime}(1)\right] \delta y(1) -2 y^{\prime}(0)~\underbrace{\delta y(0)}{=0} - 2\int_0^1! dx~ y^{\prime\prime}(x) ~\delta y(x).\tag{2}$ $
2. Además de la condición de frontera dado $y(0)=1$, uno llega a la conclusión de la fórmula (2) que debe obedecer a una configuración fija $$ y(1) + y^{\prime}(1)~=~0\quad\text{and} \quad\forall x\in [0,1]:y^{\prime\prime}(x)~=~0.\tag{3}$ $

Answer 2

Su enfoque es correcto, pero podría ser expresado con más precisión. El primer paso es reemplazar la frontera libre problema más familiar variacional del problema: encontrar $$ M(c) = \inf\left\{\int_0^1 (y'(x))^2\,dx : y(0)=1, \ y(1)=c \right\}\etiqueta{1} $$ Después de haber encontrado a $M(c)$, usted puede minimizar $c^2+M(c)$ $c\in\mathbb{R}$ y así obtener el mínimo del funcional de la $J$.

De Euler-Lagrange ecuación de $(1)$$y''=0$, lo que conduce a la minimizer $y(x) = 1+(c-1)x$ y, posteriormente,$M(c) = (c-1)^2$.

A continuación, $c^2+M(c) = c^2+(c-1)^2 $ es mínimo en $ c= 1/2$, el cual brinda $\min J = 1/2$, alcanzado por $y(x) = 1-x/2$.