deje $a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\ge 0$,y tal $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=1$.
Encontrar este siga mínimo $$I=a^2_{1}+a^2_{2}+\cdots+a^2_{n}-2a_{1}a_{2}-2a_{2}a_{3}-\cdots-2a_{n-1}a_{n}-2a_{n}a_{1}$$
Yo:ya $$a^2_{1}+a^2_{2}+\cdots+a^2_{n}\ge a_{1}a_{2}+a_{2}a_{3}+\cdots+a_{n-1}a_{n}+a_{n}a_{1}$$ esto es cierto porque $$\Longleftrightarrow \dfrac{1}{2}[(a_{1}-a_{2})^2+(a_{2}-a_{3})^2+\cdots+(a_{n-1}-a_{n})^2+(a_{n}-a_{1})^2]\ge0$$ así \begin{align*} &a^2_{1}+a^2_{2}+\cdots+a^2_{n}-2a_{1}a_{2}-2a_{2}a_{3}-\cdots-2a_{n-1}a_{n}-2a_{n}a_{1}\\ &\ge a^2_{1}+a^2_{2}+\cdots+a^2_{n}-2(a^2_{1}+a^2_{2}+\cdots+a^2_{n})\\ &=-(a^2_{1}+a^2_{2}+\cdots+a^2_{n}) \end{align*} si hacemos uso de Cauchy-Schwarz desigualdad,tenemos $$(a^2_{1}+a^2_{2}+\cdots+a^2_{n})(1+1+\cdots+1)\ge (a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n})^2=1$$
Pero esto no es útil.
y Entonces yo no puedo, ayer me han pedir a este problema：Cómo encontrar esta desigualdad mínimo $\sum_{i=1}^{n}a^2_{i}-2\sum_{i=1}^{n-1}a_{i}a_{i+1}$,
y la Ewan Delannoy utilizar un buen método para resolverlo.Yo no conozco a este problema de tener esta buena métodos para resolver demasiado(tal vez puede utilizar anterior pregunta métodos?pero no los puedo usar.) y este problema tiene a alguien en la investigación? si no,creo que esto es problema agradable.
y Ahora supongo que Este problema al $a_{i}=\dfrac{1}{n}$ $I$ es mínimo?y el mínimo es de $$I_{min}=-\dfrac{1}{n}?$$
Gracias
