Pregunta directamente desde el SAT

Question

Si un sistema de coordenadas está ideado para que el eje y positivo hace un ángulo de 60 grados con el eje x positivo, ¿cuál es la distancia entre los puntos con coordenadas (4, -3) y (5,1)?

Estoy seguro de que lo chicos puede conseguir sin las respuestas de opción múltiple.

Tenga en cuenta el college board espera hijos de 18 y 17 años para poder contestar esto en 62 segundos en promedio.

Answer 1

Una forma de fuerza bruta para solucionar esto es tener en cuenta que el cambio en los valores de $x$ $1$ y el cambio en los valores de $y$ $4$. Considerando el triángulo formado por los dos puntos dados y el % de punto $(5,-3)$, forman un triángulo de lado-ángulo-lado con lado $1$, $120^\circ$, de ángulo y lado $4$. Aplicar ley de coseno, obtenemos: $$ c ^ 2 = 1 ^ 2 + 4 ^ 2 - 2\cdot \cdot 1 4 \cdot \cos(120^\circ) = 17 - 8(-1/2) = 21 \implies c = \sqrt{21} $$

Answer 2

Si usted diseñar el sistema de coordenadas estándar y la creación colectiva (permite decir general con ángulo f, en lugar de $60^{\circ} $), verá que las nuevas coordenadas son:

(x', y') = (x + cos (f) y, sin(f)y)

Así que los puntos A(4,-3) y B(5,1), con las coordenadas estándar son $A'(\frac52, -\frac{3\sqrt3}2), B'(\frac{11}2, \frac{\sqrt3}2)$

Para obtener ahora la distancia A'B' con un resultado de $\sqrt{21}$