Probando la distribución binomial negativa tiene un pmf válido

Question

Estoy tratando de probar %#% $ #%

Me den una sugerencia para utilizar $$\sum_{k=r}^\infty \binom{k-1}{r-1}p^rq^{k-r}= 1$.

Decido dejar $(a+b)^m = \sum_{k=0}^\infty \binom{m}{k} a^kb^{m-k}$, $a = -q$, $b = 1$ y me sale

$m = -r$$

Sin embargo no estoy seguro cómo transformar $$(1-q)^{-r} = \sum_{k=0}^\infty \dfrac{(-r)(-r-1)...(-r-k +1)}{k!}(-q)^k$ $ para algo que pueden usar esa identidad

Editar: $$\sum{k=r}^\infty \binom{k-1}{r-1}p^rq^{k-r} = p^r \sum{k=r}^\infty \binom{k-1}{r-1}q^{k-r}$

Answer 1

En primer lugar, vamos a averiguar lo que sucede cuando niega el índice superior en un coeficiente binomial: $$\begin{align} \binom{-a}{b} &= \frac{(-a)!}{b! \, (-a-b)!} \ &= \frac{(-a)(-a-1)\cdots(-a-b+1)(-a-b)!}{b!(-a-b)!} \ &= \frac{(-a)(-a-1)\cdots(-a-b+1)}{b!} \ &= (-1)^b \frac{a(a+1)\cdots(a+b-1)}{b!} \ &= (-1)^b \frac{(a+b-1)!}{(a-1)! \, b!} \ &= (-1)^b \binom{a+b-1}{a-1}.\end{align}$$ Note that the sum we want to evaluate is a summation over the upper index of the binomial coefficient, whereas the binomial theorem we are supposed to use is a summation over the lower index. But the identity we proved above does precisely this conversion: if we sum over $b $, the first expression has $b $ on the bottom, but the last expression has $b $ on the top only. So all we need is to choose the variables appropriately. But first, we shift the index of summation to zero by letting $j = k - r $, hence $k = r + j$:

$$\begin{align} \sum{k=r}^\infty \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r} &= \sum{j=0}^\infty \binom{r+j-1}{r-1} p^r (1-p)^j \ &= \sum{j=0}^\infty (-1)^{-j} \binom{-r}{j} p^r (1-p)^j \ &= p^r \sum{j=0}^\infty \binom{-r}{j} (p-1)^j 1^{r-j} \ &= p^r ((p-1)+1)^{-r} \ &= p^r p^{-r} \ &= 1. \end{align}$$

Answer 2

No sé cómo probar la identidad, utilizando el teorema del binomio y me proporcionan una prueba usando inducción (por lo tanto la prueba puede ser más largo).

Deje $S_r = \sum_{k=r}^{\infty}{k-1 \choose r-1}p^rq^{k-r}$. Sólo tenemos que demostrar $\forall r \geq 1, S_r = 1$ ya que por convención, el coeficiente binomial se define como 0 cuando el menor índice es negativo.

base: $S_1 = \sum_{k=1}^{\infty}{k-1 \choose 0}pq^{k-1} = p\sum_{k=0}^{\infty}q^k=p\cdot\frac{1}{1-q}=1$

inducción: Supongamos $S_r = 1, r \geq 1$.

$ \quad S_{i+1}\\ =\sum_{k=r+1}^{\infty}{k-1 \elegir r}p^{i+1}p^{k-r-1}\\ =\sum_{k=r+1}^{\infty}{k-2 \elegir r-1}p^{i+1}p^{k-r-1} + \sum_{k=r+1}^{\infty}{k-2 \elegir r}p^{i+1}p^{k-r-1}\\ =\sum_{k=r}^{\infty}{k-1 \elegir r-1}p^{i+1}p^{k-r} + \sum_{k=r+1}^{\infty}{k-2 \elegir r}p^{i+1}p^{k-r-1}\\ =pS_r+ \sum_{k=r+1}^{\infty}{k-2 \elegir r}p^{i+1}p^{k-r-1}\\ =pS_r+\sum_{k=r}^{\infty}{k-1 \elegir r}p^{i+1}p^{k-r}\\ =pS_r+q(S_{i+1}+{r-1\elegir r}p^{i+1}p^{-1})\\ =pS_r+qS_{i+1}=p+qS_{i+1}$

por lo tanto $S_{r+1}=1$. QED.

La segunda igualdad proviene de la adición de la identidad de los coeficientes binomiales, dicen, ${r \choose k}={r-1 \choose k}+{r-1\choose k-1}$.

Answer 3

\begin{eqnarray} \sum{k=r}^{\infty}{\binom{k-1}{r-1}p^rq^{k-r}} &=& \sum{k=0}^{\infty}{\binom{k+r-1}{k}p^rq^k} \qquad\qquad\qquad\text{replacing %#%#% with %#%#%} \ &=& \sum{k=0}^{\infty}{\binom{-r}{k}p^r(-q)^k} \qquad\text{using identity %#%#%} \ && \qquad\qquad\qquad\text{(easily verified from definition of binomial coefficient)} \ &=& p^r \sum{k=0}^{\infty}{\binom{-r}{k}(-q)^k} \ &=& p^r (1-q)^{-r} \qquad\qquad\text{using the hint with %#%#%} \ &=& 1. \end{eqnarray }