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¿En qué espacios métricos son equivalentes la convergencia puntual y la uniforme?

En el ejercicio 1 de la obra de Charles Chapman Pugh Análisis Matemático Real, es una cuestión de cuándo la convergencia puntual y la uniforme son "equivalentes" para los espacios métricos M y N y una secuencia de funciones fn:MN. A mi entender, esto significaría que cualquier secuencia de funciones fnf implicaría inmediatamente fn para una determinada combinación de M y N ya que lo contrario ya es cierto.

Lo que he encontrado:

Si M es finito, entonces las convergencias son equivalentes. En otras palabras, \forall \epsilon>0,\forall x \in M, \exists L(\epsilon,x) \in \mathbb{N} \hspace{3mm} \text{s.t.} \hspace{3mm} d_M(f_n(x), f(x)) < \epsilon \hspace{3mm} \text{if} \hspace{3mm} n \ge L(\epsilon,x) implica una convergencia uniforme ya que L y se fijó \epsilon > 0 es una función sobre un espacio finito por lo que \max_{x}{L(\epsilon,x)} = L(\epsilon) existe. Utilizando este máximo, intercambiamos el x y L cuantificadores que nos dan la definición de convergencia uniforme para f_n .

Al tratar de encontrar más ejemplos o una totalidad de cada combinación es donde estoy atascado. Una pista es el hecho de que si M es compacto y f_n es puntualmente equicontinuo y puntualmente acotado, entonces f_n siendo convergente puntualmente implicaría una convergencia uniforme por el teorema de Arezelà-Ascoli generalizado. Sin embargo, no se me ocurre ninguna propiedad que se pueda atribuir a un espacio métrico que obligue a cada secuencia de funciones convergentes puntualmente para ser equicontinua puntualmente y acotada puntualmente.

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mathworker21 Puntos 326

Si M es finito son equivalentes.

Si M no es finito, no son equivalentes, a menos que N está vacío o contiene un elemento. Para ver por qué no son equivalentes en el caso no trivial, tomemos los puntos a,b \in N y señala x_1,x_2,x_3,\dots \in M . Definir f por f(x) = a para todos x \in M . Definir f_n por f_n(x) = a para todos x \in M\setminus\{x_{n+1},x_{n+2},x_{n+3},\dots\} y f_n(x_{n+j}) = b para j \ge 1 . Entonces f_n \to f pero no de manera uniforme.

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