¿En qué espacios métricos son equivalentes la convergencia puntual y la uniforme?

Question

En el ejercicio 1 de la obra de Charles Chapman Pugh Análisis Matemático Real, es una cuestión de cuándo la convergencia puntual y la uniforme son "equivalentes" para los espacios métricos $M$ y $N$ y una secuencia de funciones $f_n: M \to N.$ A mi entender, esto significaría que cualquier secuencia de funciones $f_n \to f$ implicaría inmediatamente $f_n \rightrightarrows f$ para una determinada combinación de $M$ y $N$ ya que lo contrario ya es cierto.

Lo que he encontrado:

Si $M$ es finito, entonces las convergencias son equivalentes. En otras palabras, $$\forall \epsilon>0,\forall x \in M, \exists L(\epsilon,x) \in \mathbb{N} \hspace{3mm} \text{s.t.} \hspace{3mm} d_M(f_n(x), f(x)) < \epsilon \hspace{3mm} \text{if} \hspace{3mm} n \ge L(\epsilon,x)$$ implica una convergencia uniforme ya que $L$ y se fijó $\epsilon > 0$ es una función sobre un espacio finito por lo que $\max_{x}{L(\epsilon,x)} = L(\epsilon)$ existe. Utilizando este máximo, intercambiamos el $x$ y $L$ cuantificadores que nos dan la definición de convergencia uniforme para $f_n$ .

Al tratar de encontrar más ejemplos o una totalidad de cada combinación es donde estoy atascado. Una pista es el hecho de que si $M$ es compacto y $f_n$ es puntualmente equicontinuo y puntualmente acotado, entonces $f_n$ siendo convergente puntualmente implicaría una convergencia uniforme por el teorema de Arezelà-Ascoli generalizado. Sin embargo, no se me ocurre ninguna propiedad que se pueda atribuir a un espacio métrico que obligue a cada secuencia de funciones convergentes puntualmente para ser equicontinua puntualmente y acotada puntualmente.

Answer 1

Si $M$ es finito son equivalentes.

Si $M$ no es finito, no son equivalentes, a menos que $N$ está vacío o contiene un elemento. Para ver por qué no son equivalentes en el caso no trivial, tomemos los puntos $a,b \in N$ y señala $x_1,x_2,x_3,\dots \in M$ . Definir $f$ por $f(x) = a$ para todos $x \in M$ . Definir $f_n$ por $f_n(x) = a$ para todos $x \in M\setminus\{x_{n+1},x_{n+2},x_{n+3},\dots\}$ y $f_n(x_{n+j}) = b$ para $j \ge 1$ . Entonces $f_n \to f$ pero no de manera uniforme.