Teorema de Gauss-Bonnet, ángulos exteriores y orientación

Question

El Mundial de Gauss-Bonnet Teorema de los estados:

Deje $R\subset S$ ser un habitual de la región y $C_1,\ldots,C_r$ ser cerrada, simple, a trozos regulares curvas formando el límite de $R$. Supongamos $C_i$ es de orientación positiva y $\theta_1,\ldots,\theta_n$ exteriores de los ángulos de las curvas. Entonces: \begin{equation*} \sum\limits_{i=1}^{r} \int_{C_i} k_g^{C_i}(s) ds + \iint_R K d\sigma + \sum\limits_{j=1}^{n} \theta_j = 2\pi\chi(R) \end{ecuación*}

Mis preguntas son:

1. ¿Cuál es la manera más fácil de orientar positivamente las curvas?
2. Debemos calcular los ángulos externos antes o después de la orientación de las curvas?
3. ¿Cómo podemos calcular fácilmente el signo de los ángulos externos?
4. Supongamos que tenemos una región $R$ es homeomórficos a una plaza como esta: ¿Es cierto que $\chi(R)=1-n$ donde $n$ denotar el número de agujeros?

Answer 1

Respuesta 1: el Uso de la regla de la mano derecha, con respecto a una orientación en la superficie. El modelo local para el uso de la regla de la mano derecha es que, cuando se aplica en la mitad superior del plano de $\mathbb{R}^2$, se le da la orientación positiva en la $x$-eje.

Respuesta 2: Los ángulos externos no dependen de la orientación. En el ejemplo, cada uno de los cuatro ángulos externos en el exterior del borde rectangular es igual a $+\pi/2$. Y en cada una de las tres zonas rectangulares límites, cada uno de los cuatro ángulos externos es igual a $-\pi/2$.

Respuesta 3: En un vértice $V$, si el ángulo interno es igual a $\phi$, entonces el ángulo externo es igual a $\pi-\phi$. Por lo tanto, si el ángulo interno es$<\pi$, entonces el ángulo externo es positivo, mientras que si el ángulo interno es$>\pi$, entonces el ángulo externo es negativo (véase la respuesta a la 2).

Respuesta 4: Sí (suponiendo que su intención es que el $R$ es la región entre el rectángulo exterior y el interior tres rectángulos).