¿Velleman - cómo demostrarlo - hacer estas dos afirmaciones significa lo mismo?

Question

Hola y gracias de antemano por leer!

En Cómo Probar P29 Velleman escribe:

"En general, la instrucción y ∈ { x | P(x)} significa lo mismo que P(y), ... "

A mi entender la primera declaración significa que se aplica el elementhood prueba a y y se cumple (que la hace verdadera), y la segunda declaración significa que podemos aplicar la misma prueba pero puede ser verdadera o falsa (como no podemos saber si P(y) es verdadera o falsa).

Así que no veo cómo estas significan lo mismo. Lo que me estoy perdiendo?

Muchas gracias!

Answer 1

Tenga en cuenta que un objeto $y$ es un elemento de $\{ x : P(x) \}$ fib $P(y)$ es cierto.

• Si $y$$\{ x : P(x) \}$, $y$ debe satisfacer la definición de la propiedad de ser un elemento de $\{ x : P(x) \}$, es decir, tener la propiedad $P(\cdot)$.
• Si $P(y)$ es verdadera, entonces el $y$ satisface la definición de la propiedad de ser un elemento de $\{ x : P(x) \}$, y por lo tanto es un elemento de la colección.

Esto es bastante por notacional definición, pero lo que tenemos que elementhood en $\{ x : P(x) \}$ es equivalente a tener la propiedad $P(\cdot)$.

Answer 2

Los dos puntos. (1) es ciertamente el caso de que, suponiendo que el conjunto pertinente existe, que

$$y \in \{x \mid P(x)\} \leftrightarrow P(y),$$

como Arthur Fischer explica.

Usted podría preguntarse, entonces, ¿por qué Velleman escribe "En general" que contiene, y no "Siempre". Bueno, supongamos $P$ es la propiedad de ser un no-yo-membered conjunto [o de ser un conjunto que tiene un rango en la jerarquía, o algo así]. Entonces, no es cierto que algunos determinado $y$ es tal que $P(y)$ si y sólo si $y \in \{x \mid P(x)\}$, teniendo en $\{x \mid P(x)\}$ como un supuesto conjunto de designación, por la sencilla razón de que no existe tal conjunto como el de Russell conjunto de todos los no-auto-membered conjuntos. Necesitamos el conjunto de $\{x \mid P(x)\}$ a existir para la equivalencia para celebrar!

(2) Aún cuando el conjunto no existen, yo no me quiero poner muy Velleman del camino, es decir, no me afirmar que $P(y)$ realmente significa lo mismo que" $y \in \{x \mid P(x)\}$. En la mayoría de los casos, sólo uno de ellos se compromete a la existencia de un conjunto: y si sus compromisos ontológicos son distintos, ellos no pueden decir lo mismo. Ellos son, directamente, un significado equivalente, sólo equivalente dentro de un poco de primaria de conjunto de la teoría.

Answer 3

En el contexto de $\mathsf{ZFC}$ teoría de conjuntos, la razón por la que la declaración "$y \in \{ x \mid P(x)\}$" significa lo mismo que $P(y)$ es que podemos definir a decir $P(y)$. Aquí los símbolos de variables $x$ $y$ denotar conjuntos.

Nos referimos a $\{ x \mid P(x)\}$ como la clase de todos los conjuntos de $x$ tener la propiedad $P$, y decir que un conjunto $y$ es un miembro de esta clase es sólo una forma elegante de decir que tiene la propiedad $P$.

(Un ingenuo alternativa es definir $\{ x \mid P(x)\}$ a ser el "conjunto" de todos los conjuntos de $x$ tener la propiedad $P$, pero esto es problemático, ya que se asume que un conjunto siempre existe llevará a la paradoja de Russell.)

La declaración de $y \in \{ x \mid P(x)\}$ puede ser true o false según si $y$ es un miembro de la clase $\{ x \mid P(x)\}$. Asimismo, el equivalente (por definición) declaración de $P(y)$ puede ser true o false según si $y$ propiedad $P$.

Answer 4

Notación de conjunto-builder puede ser confuso a veces. $p={x | P(x)}$ De reescritura con un cuantificador como $\forall y (y\in p \iff P(y))$ y creo que su respuesta llega a ser obvia.