Si $p$ es un número primo, ¿cómo puedo demostrar por contradicción que esta ecuación $x^{n}=p$ no admite soluciones en $\mathbb {Q}$ donde $n\ge2$
¿Puede alguien explicar esto?
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Michael Hoppe
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@AlJebr Si $a=a_1\dots a_k$ es la descomposición primaria de $a$ y $b=b_1\dots b_l$ el de $b$ entonces la descomposición primaria de $a^n$ tiene $kn$ factores, y el de $b^n$ tiene $nl$ factores. Así, $pb^n$ tiene $ln+1$ factores, mientras que el otro lado de la ecuación tiene $kn$ lo cual es una contradicción ya que $n$ divide a la una pero no a la otra (utilizando la unicidad de la descomposición en primos).
egreg
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Gabi
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Wlog, supongamos que $x=\frac{a}{b}$ tal que $a, b\in \mathbb{Z}, b\neq 0$ y $(a,b)=1$ . Entonces $pb^n=a^n$ para que $p|a$ . Por lo tanto, podemos escribir $a=a_1p$ , $a_1\in \mathbb{Z}$ . De ello se desprende que $pb^n=p^na_1^n$ para que $b^n=p^{n-1}a_1^n$ . Vemos que $p|b$ lo que contradice el hecho de que $(a,b)=1$ .
Mike T
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Si es posible, que la raíz n-ésima de p número primo sea racional. Por lo tanto, podemos escribir p 1/n como
p 1/n \= a/b
p = a n /b n
ya que a y b son coprimos, a n /b n será un número entero si b n \= 1
por lo tanto, p = a n .................................ecuación1
dividiendo ambos lados por a, obtenemos:
p/a = a n-1
Como a es un número entero, a n-1 también es un número entero,
por lo tanto, p/a también es entero. p es primo, por lo que p/a es entero si a =1 o a=p
Si ponemos 1 en la ecuación 1, obtenemos a = 1, lo que no es posible. entonces ponemos a=p, y obtenemos n=1, pero la primera raíz significa el propio número. como no hay ningún valor de a/b para el que p 1/nn es racional, se puede concluir que p 1/n es siempre irracional.
