¿En mecánicos de la onda 1D, existe un contraejemplo a la relación $m \frac{d \langle x\rangle}{dt} = \langle p \rangle$?

Question

El estándar de los físicos en la prueba de la identidad de $m \frac{d\langle x\rangle}{dt} = \langle p \rangle$ implica la integración por partes. Por ejemplo, en Griffiths, "Introducción a la Mecánica Cuántica", la derivación va como sigue: \begin{equation} \begin{split} m\frac{d\langle x \rangle}{dt} &= m\int x \frac{\partial|\psi|^2}{\partial t} dx\\ &= \frac{i\hbar}{2}\int x\frac{\partial}{\partial x}\left(\psi^\ast\frac{\partial\psi}{\partial x}-\frac{\partial\psi^\ast}{\partial x}\psi\right) dx\\ &= -\frac{i\hbar}{2}\int \left(\psi^\ast\frac{\partial\psi}{\partial x}-\frac{\partial\psi^\ast}{\partial x}\psi\right) dx\\ &= -i\hbar \int \psi^\ast\frac{\partial\psi}{\partial x} dx\\ & = \langle p \rangle, \end{split} \etiqueta{1} \label{un} \end{equation} Aquí, (entre otras cosas) uno debe integrar por partes para obtener la tercera línea, donde los asociados término se supone que desaparecen, es decir, \begin{equation} x\left(\psi^\ast\frac{\partial\psi}{\partial x}-\frac{\partial\psi^\ast}{\partial x}\psi\right) \Bigg|_{x=-\infty}^{\infty} = 0. \tag{2} \label{b} \end{equation} Pero, ¿es realmente ACEPTAR para hacer tal suposición? De hecho, para el normalizable de la función de onda \begin{equation} \psi_1(x) = \frac{e^{ix^4}}{x^2 + 1}, \tag{3} \end{equation} el término de [Eq. $(\ref{b})$] no desaparece, haciendo que toda la derivación en Eq. $(\ref{a})$ no válido. Aún así, es fácil ver que $\langle p \rangle$ sí está mal definido anteriormente, la función de onda (es decir, la integral de la $\langle\psi_1|p|\psi_1\rangle$ no es convergente), por lo que este contraejemplo no es muy interesante.

Por lo tanto, mi pregunta es la siguiente:

Es posible construir un contraejemplo a la relación $m \frac{d\langle x\rangle}{dt} = \langle p \rangle$, donde ambos se $\langle x\rangle$ $\langle p\rangle$ están bien definidos?

Answer 1

La derivación de la ecuación (1) se asume que: con el fin de que el límite en el infinito plazo a 0 en el límite, es suficiente/suficientes para considerar que la wavefunctions son Schwartz funciones de prueba (es decir, que vaya de 0 a infinito más rápido que cualquier función polinómica). Es cuando este conjunto de funciones se utiliza que los operadores de $x$ $p_x$ son esencialmente auto-adjunto, sus elementos de la matriz de $\langle \psi, x\psi\rangle$ $\langle \psi, p_x\psi\rangle$ están correctamente definidos, bien educado funciones del parámetro $t$ mediante $\psi(t)$ y el espacio $\mathcal{S}(\mathbb R)$ es invariante bajo la uniparameter grupo $e^{itH}$ por el teorema de Hunzicker. Estas son las condiciones suficientes para hacer (1) en una válida derivación.

Así que la pregunta final de el post original tiene esta respuesta: "NO, porque la realización de los elementos de la matriz como se comporta bien funciones de $t$ hace que todas las manipulaciones en (1) matemáticamente válida".

El teorema de Ehrenfest ha sido bien formulado y probado sólo a finales de 2009 (es decir, más de 80 años después de la obra original por P. Ehrenfest). Esto se puede encontrar aquí: "En el teorema de Ehrenfest de la mecánica cuántica", Gero Friesecke y Mario Koppen, Revista de la Física Matemática 50, 082102 (2009); doi: 10.1063/1.3191679

Answer 2

Yo diría que la prueba usual de esta declaración se produce a partir del teorema de Ehrenfest:

$\frac{d<Q>}{dt} = -\frac{i}{\hbar} [Q,H]$

A continuación, con la habitual partícula Hamiltonianos uno ha $H=\frac{p^2}{2m} +V(x)$ $\frac{d<X>}{dt}=\frac{1}{2m}[p^2,x]$ evaluar Este estándar a través de reglas de conmutación a su identidad $m\dot{<x>}=<p>$.

En ningún momento aquí no nos invocar integración por partes. La prueba de que el teorema de Ehrenfest, que no implica el interior de los productos (y por lo que conlleva el riesgo de IBP), simplemente requiere que todo el interior existen productos y esto es equivalente a la afirmación de que nuestro wavefunctions son normalisable.