Deje $p$ ser una de las primeras y $a, b$ números naturales tales que $1 \leq b \leq a$. Estoy tratando de demostrar que $$\binom{ap}{bp} \equiv \binom{a}{b} \pmod p.$$ Además, he sido encargado de demostrar que una versión más fuerte de esto es: $$\binom{ap}{bp}\equiv \binom{a}{b} \pmod{p^2}.$$
Necesito un elemental prueba de ello (de Lucas es el teorema de la pregunta).
He estado tratando de probar la primera desigualdad de equivalencia de $(1 + x)^{ap} \equiv (1 + x)^p \pmod p,$ donde $x$ es un número entero. He intentado expandir $(1+x)^{ap}$ $(1 + x)^p$ usando el teorema del binomio y, a continuación, coinciden con los coeficientes, pero no he sido capaz de obtener el resultado de hacer esto. Cómo puedo probar esta primera congruencia (y la segunda)?
Gracias.