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Binomio congruencia módulo un primo

Deje $p$ ser una de las primeras y $a, b$ números naturales tales que $1 \leq b \leq a$. Estoy tratando de demostrar que $$\binom{ap}{bp} \equiv \binom{a}{b} \pmod p.$$ Además, he sido encargado de demostrar que una versión más fuerte de esto es: $$\binom{ap}{bp}\equiv \binom{a}{b} \pmod{p^2}.$$

Necesito un elemental prueba de ello (de Lucas es el teorema de la pregunta).

He estado tratando de probar la primera desigualdad de equivalencia de $(1 + x)^{ap} \equiv (1 + x)^p \pmod p,$ donde $x$ es un número entero. He intentado expandir $(1+x)^{ap}$ $(1 + x)^p$ usando el teorema del binomio y, a continuación, coinciden con los coeficientes, pero no he sido capaz de obtener el resultado de hacer esto. Cómo puedo probar esta primera congruencia (y la segunda)?

Gracias.

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Sandeep Silwal Puntos 3962

Reclamo: $$\dbinom{pa}{pb} \equiv \dbinom{a}b \pmod {p^2}$$

Prueba:

$$(x+1)^{pa} = (x^p+1+pQ(x))^a$$ for some polynomial $Q$ por el teorema del binomio. Entonces tenemos $$(x+1)^{pa} = (x^p+1)^a+a(x^p+1)^{a-1}pQ(x)+p^2f(x)$$ for a polynomial $f$.

Esto le da

$$(x+1)^{pa} \equiv (x^p+1)^a+a(x^p+1)^{a-1}+pQ(x) \pmod {p^2}.$$

Desde $pQ(x) = (x+1)^p-1-x^p$, la sustitución da

$$(x+1)^{pa} \equiv (x^p+1)^a+a(x^p+1)^{a-1}((x+1)^p-1-x^p)$$ $$ \equiv (x^p+1)^a+a(x^p+1)^{a-1}(x+1)^p-a(x^p+1)^{a-1}-x^pa(x^p+1)^{a-1}. \pmod {p^2}$$

Ahora por un simple recuento de argumento, el coeficiente de $x^{pb} \pmod {p^2}$ termwise es

$$\dbinom{a}b + a\left(\dbinom{a-1}b+\dbinom{a-1}{b-1}\right)-a\dbinom{a-1}{b}-a \dbinom{a-1}{b-1} \equiv \dbinom{a}b \pmod {p^2}$$ como se desee.

Es muy bueno ver que los términos conspiran como que a la final. Creo que otra prueba similar también funcionaría para $p^3$. Recuerdo haber visto una combinatoria de prueba para la $p^3$ de los casos, en algún lugar... puedo recuperarlo si alguien me quiere.

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user8269 Puntos 46

Una prueba corta se da aquí. Pero utiliza el lenguaje de grupos actuando sobre conjuntos, puede no ser cómodo con eso.

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