Reconstruyendo una variedad afín de su anillo de coordenadas

Question

Estoy tratando de comprender la construcción de las veces escrito como $V=\operatorname{Spec}(R)$ donde $R$ es un finitely generadas $\mathbb C$-álgebra con ningún distinto de cero nilpotents.

A primera vista, la notación $\operatorname{Spec}(R)$ es introducido como el conjunto de la máxima ideales. Si $R=\mathbb C[V]$ es el anillo de coordenadas de una variedad afín $V\subseteq\mathbb C^n$, sabemos que los puntos de $V$ corresponden a los máximos ideales de la $\mathbb C[V]$, lo $V=\operatorname{Spec}(\mathbb C[V])$ es un legítimo de la ecuación en el nivel de los conjuntos. Pero para hacer $\operatorname{Spec}(R)$ un adecuado afín variedad si que no sepamos ya de la variedad que ha $R$ como coordinar su anillo, necesitamos alguna manera de dotar al conjunto de la máxima ideales con la estructura de una variedad afín.

Por lo que he leído, la "correcta" forma de ver esto, es aprender acerca de los esquemas. Ya estoy empezando la geometría algebraica (para el estudio de variedades tóricas), yo no sé nada acerca de la teoría de los esquemas, por ahora.

La forma en que me las arreglé para equipar $\operatorname{Spec}(R)$ con la estructura de una variedad afín es la siguiente: Vamos a $R$ ser un finitely generadas $\mathbb C$-álgebra con ningún distinto de cero nilpotents. Pick generadores $f_1,\dots,f_r$ y considerar la surjective $\mathbb C$-álgebra homomorphism $\varphi:\mathbb C[x_1,\dots,x_r]\to R$$x_i\mapsto f_i$. Por el homomorphism teorema tenemos un isomorfismo $R\cong\mathbb C[x_1,\dots,x_r]/I$ donde $I$ es el núcleo de $\varphi$. Desde $R$ no tiene un valor distinto de cero nilpotents, el ideal de $I$ es radical. Deje $V=\mathbf V(I)\subseteq\mathbb C^r$ ser afín a la variedad dada por el ideal de la $I$, $\mathbf I(V)=\sqrt{I}=I$ por Hilbert Nullstellensatz y, por tanto,$\mathbb C[V] = \mathbb C[x_1,\dots,x_r]/I\cong R$. Desde $V=\operatorname{Spec}(R)$ como conjuntos, esta construcción equipa $\operatorname{Spec}(R)$ con la estructura de una variedad afín.

Es esta la manera correcta de pensar acerca de esto, cuando vengo a través de variedades define como el $\operatorname{Spec}$ algunos $\mathbb C$-álgebra?

Answer 1

Estás en lo correcto en su razonamiento. A pesar de que no es intrínseca, es a menudo adecuada para sus propósitos de estudio de variedades tóricas. Una de las muchas razones por las variedades tóricas son agradables de estudio es que se puede aprender muchas cosas sobre ellos, y la geometría algebraica como un todo, sin saber lo que una gavilla es (por extraño que pueda sonar a otras personas). Para afín tóricas de variedades, de hecho, hay una relativamente geométrica estándar de realización.

La proposición: Supongamos $\sigma$ es un racional fuertemente convexo poliédrico cono en un entramado $N,$ y dejar que el doble celosía ser $M.$ Por Gordan del lema, la monoid $S_{\sigma}:= \sigma^{\vee}\cap M$ es finitely generado, digamos por $\mu_1, \ldots, \mu_k.$, a Continuación, el afín tóricas variedad construido desde el cono puede ser realizada como $U_{\sigma} = V(I_{\sigma}) \subseteq \mathbb{C}^k,$ donde $$ I_{\sigma} = \big\langle \ X_1^{a_1} X_2^{a_2} \cdots X_k^{a_k} - X_1^{b_1} X_2^{b_2} \cdots X_k^{b_k} \ \big| \ a_i, b_i \in \mathbb{Z}_{\geq 0} \ , \ \sum_{i=1}^k a_i\mu_i=\sum_{i=1}^k b_i\mu_i\ \big\rangle.$$

Prueba: Tenemos $\mathbb{C}[S_{\sigma}] = \mathbb{C}[\chi^{\mu_1}, \ldots, \chi^{\mu_k}].$ $\mathbb{C}$- álgebra homomorphism $$\varphi: \mathbb{C}[X_1,\ldots, X_k] \to \mathbb{C}[S_{\sigma}] \ : \ X_i\mapsto \chi^{\mu_i}$$ is surjective so $\mathbb{C}[S_{\sigma}] \cong \mathbb{C}[X_1,\ldots, X_k]/(\ker \varphi).$ We need to show that $I_{\sigma} = \ker \varphi.$ It is clear that $I_{\sigma}\subseteq \ker \varphi.$ For $\mu \S_{\sigma}$ let $\pi(\mu) = \{ a=(a_1,\ldots, a_k) \ | \ a_1 \mu_1 + \ldots a_k \mu_k = \mu \}$ and adopt the notation $X^a := X_1^{a_1} \cdots X_k^{a_k}.$ Suppose $p= \sum \lambda_a X^$ is in $\ker \varphi$ so $\displaystyle \varphi(p) = \sum_{\mu \S_{\sigma}} \left( \sum_ {\\pi(\mu) } \lambda_a \right) \chi^{\mu}=0.$ Therefore $\displaystyle \sum_ {\\pi(\mu)} \lambda_a =0$ for all $\mu \S_{\sigma}.$ We can write $\displaystyle p=\sum_{\mu \S_{\sigma}} p_{\mu}$ where $\displaystyle p_{\mu} = \sum_ {\\pi(\mu)} \lambda_a X^$ so it suffices to show that $p_{\mu} \I_{\sigma}.$ The number of non-zero coefficients of $p_{\mu}$ is finite, so suppose there are $m$ de ellas indexadas con superíndices. Tenemos \begin{align*} \sum_{i=1}^m \lambda_{a^i} X^{a^i} &= \lambda_{a^1} ( X^{a^1} - X^{a^2} ) + (\lambda_{a^1} + \lambda_{a^2} ) (X^{a^2} -X^{a^3}) + \ldots\\ & +\left(\sum_{i=1}^{m-1} \lambda_{a^i}\right) ( X^{a^{m-1}} - X^{a^m} ) + \left(\sum_{i=1}^{m} \lambda_{a^i}\right)( X^{a^m} - X^{a^1}) + \left(\sum_{i=1}^{m} \lambda_{a^i}\right) X^{a^1}. \end{align*} Desde $\displaystyle \sum_{i=1}^{m} \lambda_{a^i}=0$ vemos que $p_{\mu}$ es la suma de los elementos de $I_{\sigma},$, lo que completa la prueba.

Es cierto que si $\sigma$ ha codimension cero en la red, a continuación, en realidad hay un único conjunto mínimo de monoid generadores (es decir, ningún elemento del conjunto es generada por los demás), así que para que caso de que no hay opciones.

De hecho, estoy en el proceso de escribir una introducción a Tóricas de variedades que no asume ninguna familiaridad con los esquemas o nada más allá del mínimo básico de un primer curso en la geometría algebraica. Si usted está interesado me puede enviar a usted cuando termino de escribir la semana próxima.