Función no lineal continua pero no acotados

Question

Me gustaría un ejemplo de un mapa de $f:H\rightarrow R$ donde $H$ es un (infinito dimensional) espacio de Hilbert, y $R$ es el de los números reales, tal que $f$ es continua, sino $f$ no está delimitado en el cierre de la unidad de balón $\{ x\in H : \|x\| \leq 1\}$.

En realidad, $H$ podría ser sustituido por cualquier espacio de Banach (pero no de una normativa espacio, lo que es muy fácil). Mi motivación es que si $f$ es lineal, esto es imposible, pero tengo casi nada de la intuición acerca de las funciones no lineales.

Edit: Aquí está un ejemplo para $c_0$, lo que es aún diferenciable (descargo de responsabilidad: la he encontrado aquí: http://www.ms.uky.edu/~larry/papel.dir/corea.ps). Definir $f:c_0\rightarrow F$ (donde F es su campo, real o complejo) por $$ f(x) = \sum_{n=1}^\infty x_n^n \qquad (x=(x_n)). $$ You can estimate the sum by a geometric progression, so it does converge. A bit of checking shows that f is Frechet differentible (so certainly continuous). But $f(1,1,\cdots,1,0,\cdots)=n$ (if there are $n$ ones) so $f$ is not bounded on the closed unit ball. What I don't immediately see is how to adapt this to $\ell^2$, dicen.

Answer 1

Una manera fácil de hacerlo en cualquier infinito-dimensional espacio de Banach es observar que hay una contables discretos subconjunto $\{x_{n}\}_{n = 1}^{\infty}$ de la unidad de balón por parte de Riesz del lexema (en el caso de Hilbert puede simplemente tomar cualquier ortonormales sistema). Esto significa que usted puede encontrar una secuencia o radios $r_{n}$ de manera tal que el cerrado bolas $\bar{B}_{2r_{n}}(x_{n})$ son disjuntos a pares (por ejemplo, tomar $r_{n} = \frac{1}{4}$ en la configuración de Hilbert - estoy siendo generoso). Poner a $f_{n}(x) = \max{\{0,r_{n} - \|x- x_n\|\}}$ usted obtiene una función continua $f_n$ apoyado en $\bar{B}_{r_n}(x_n)$. La función de $f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{r_n} f_n(x)$ es ilimitado en la unidad de la bola debido a $f(x_{n}) = n$ y es claramente continua desde las bolas $\bar{B}_{2r_n}(x_n)$ son pares distintos.

No sé de un "natural" ejemplo de la parte superior de mi cabeza.

Answer 2

No puede una de las razones de la siguiente manera?

Deje $H=\ell^2$ y deje $\{ e^n:=(\delta_m^n)\}_{n\in \mathbb{Z}}$ ser su base estándar ($\delta_m^n$ es de Kronecker).

Luego de considerar el abrir de bolas $B_n:=B(e^n;\frac{1}{2})$: estas bolas son pares distintos (porque la suma de sus radios es menor que la distancia entre sus centros es igual a $\sqrt{2}$).

En cada conjunto de bolas $f(x):=(n^2+1)(1-2|x-e^n|)$, por lo que el $f(x)$ es radialmente decreciente, continua y acotada en $B_n$ (para la imagen de $B_n$ es el intervalo de $]0,n^2+1]$) y $f(x)$ se aproxima a cero cuando $x$ se acerca al límite de $\partial B_n$.

Ahora tenemos una función $f(x)$ definido en $\bigcup_n B_n$ y queremos ampliarlo a todo el espacio: la manera más fácil de hacerlo es mediante el establecimiento $f(x)=0$ al $x\notin \bigcup_n B_n$.

La función extendida $f(x)$ está definido, continua y acotada en $\ell^2$ (para él es ilimitado en $B(o;1)$, debido a $\displaystyle \lim_{n\to \infty}|f(e^n)|= +\infty$), y es, obviamente, no lineal: de hecho si $R>0$ es lo suficientemente grande,$f(Re^0+Re^1)=0\neq 3R=Rf(e^0)+Rf(e^1)$ .

Tiene sentido para mí. ¿Qué te parece?

Answer 3

Aquí es otra construcción. Deje $H$ ser cualquier espacio de Hilbert y $\{e_n\}_{n=1}^\infty$ ser un ortonormales. A continuación, $\|e_n - e_m\|^2 = 2$ si $m\not = n$, por lo que $\|e_m - e_n\| = \sqrt{2}$ si $m \not= n$.

Denotar por $U_n$ la bola unidad cerrada acerca de $e_n$. Cada una de las $U_n$ es cerrado y es un resultado positivo a distancia uniforme ($\sqrt{2} - 1$) de cualquier otra $ U_n$; la unión de estas bolas es cerrado. Poner $U = \bigcup_n U_n$. Ahora definir la función de $f: U \rightarrow R$ $f(n) = n$ si $x \in U_n$.

Desde $U$ es un subconjunto cerrado de la bola de radio 2 sobre la procedencia en $H$, por la extensión de Tietze teorema, existe una extensión continua de $f$ definido en la bola cerrada de radio 2 sobre el origen. Esta función es continua y acotada.