La convergencia en $L^p$ espacio

Question

Si una secuencia ${f_i},f \in {L^p}([0,1]){\kern 1pt} {\kern 1pt} (1 < p < \infty )$ tal que ${f_i}$ converge débilmente a $f$ y ${\left\| {{f_i}} \right\|_p} \to {\left\| f \right\|_p}$ entonces es ${\left\| {{f_i} - f} \right\|_p} \to 0$ ¿Verdad?

Answer 1

Supongamos que WLOG $\|f_i\| = \|f\| = 1$ . Supongamos que no tenemos convergencia de $f_n$ a $f$ en norma. Así que por convexidad uniforme local tenemos una subsecuencia de $(f_n)$ aún denotado por $f_n$ tal que

$$\left \|\frac{f_n + f}{2}\right \| < C < 1 \text{ for all $ n $}.\tag{1}$$

Por Hahn-Banach hay un $\varphi \in L^q$ tal que $\varphi(f) = 1$ y $\|\varphi\| = 1$ .

Para ello $\varphi$ $(1)$ implica que $|\varphi(f_n) + 1| < 2C$ Por lo tanto $f_n$ no converge débilmente a $f$ .