¿Por qué multiplicar una matriz con su transposición?

Question

Esta podría ser una pregunta estúpida, pero no me parece entender por qué quiero múltiples de una matriz con su transpuesta. Yo no soy matemático, pero estoy muy interesado en la comprensión de las prácticas de uso de ecuaciones:

Imagine que tiene tres venta de productos de la Manzana, Naranja y Pera durante los últimos 3 días en una matriz de forma que se llama: $$ A= \begin{bmatrix} Apple & Orange & Pear \\ 10 & 2 & 5 \\ 5 & 3 & 10 \\ 4 & 3 & 2 \\ 5 & 10 & 5 \\ \end{bmatrix}$$

¿Qué le $AA^{\rm T}$ me dicen?

He visto esta respuesta larga enlace: Es una matriz que multiplicada por su transpuesta algo especial?, pero yo no lo consiguió del todo.

Veo que una gran cantidad de ecuaciones de utilizar el producto $AA^{\rm T}$ y espero de verdad que alguien va a dar una respuesta muy simple.

Answer 1

Vamos a considerar la matriz $A$ caracterización de los valores de algunas variables $a_{ij}$, $j=1...m$ con valores en diferentes momentos $i=1...n$, como en el OP ejemplo, pero transpuesto.

Si las variables están normalizados en la media, la matriz $\frac 1m A^TA$ es el estimador de la covarianzas $s_{j_1j_2}=\mathbb{E}(a_{\cdot j_1}a_{\cdot j_2}) \approx \frac 1m \sum a_{j_1}a_{j_2}$ para el conjunto de variables aleatorias $a_{\cdot j=1...m}$.

Si las entradas $a_{ij}$ $A$ tienen unidades de $[a]$, las entradas de $AA^T$ tendrá unidades de $[a^2]$. Esto es consistente con el arriba mencionado.

A la hora de resolver el problema de $Ax=B$, la solución de $x=(A^TA)^{-1}A^TB$ es el mejor estimador (LS), siempre que la covarianza como se definió anteriormente, es bastante variable a es invertible.