Postulado de igual probabilidad a priori (mecánica estadística)

Question

1. Sea $\mu_1=(q,p)$ y $\mu_2=(q',p')$ dos microestados accesibles (puntos en el espacio de fases) correspondientes a algún macroestado $M$.
2. Incluso asumamos que la trayectoria de un sistema visita cada microestado accesible si se espera el tiempo suficiente.

Para un Hamiltoniano general $H$, $$\left|\left(\frac{\partial H(q,p)}{\partial p},-\frac{\partial H(q,p)}{\partial q}\right)\right|= \left|\frac{d\mu_1}{dt}\right| \neq \left|\frac{d\mu_2}{dt}\right|=\left|\left(\frac{\partial H(q',p')}{\partial p},-\frac{\partial H(q',p')}{\partial q}\right)\right|$$ lo cual significa que el sistema puede fluir a través de $\mu_1$ a una velocidad diferente que a través de $\mu_2. Por lo tanto, si tomamos una instantánea microscópica del sistema en un punto aleatorio en el tiempo, la probabilidad de encontrarlo en $\mu_1$ no necesariamente es igual a la probabilidad de encontrarlo en $\mu_2, a menos que el Hamiltoniano $H(q,p)$ tenga la propiedad especial que hace que $\left|\frac{d\mu_1}{dt}\right| = \left|\frac{d\mu_2}{dt}\right|$.

¿Cómo podemos justificar la suposición de que la probabilidad de encontrar el sistema en un microestado accesible es independiente del microestado, sin mostrar que el Hamiltoniano tiene la propiedad especial requerida por la suposición? Estoy a favor de ocultar nuestra ignorancia detrás de una suposición democrática. Pero hacerlo sin tener en cuenta la estructura del Hamiltoniano es preocupante. ¿Me estoy perdiendo algo? Por ejemplo, ¿se puede mostrar que las velocidades en $\mu_1$ y $\mu_2$ son iguales si se impone la restricción $H=E_0$?

Answer 1

El Hamiltoniano tiene una propiedad especial, pero no es la que mencionas: es la conservación del volumen del espacio de fases, que es la base para el Teorema de Liouville. Echa un vistazo a estas notas de conferencia que muestran que la función de distribución es constante a lo largo de una trayectoria en el espacio de fases.

Answer 2

Que las velocidades difieran solo significa que un sistema es más lento que el otro, no que se viole la suposición de igual probabilidad. El sistema más lento tomará más tiempo en explorar todos los microestados, pero explorará todos con la misma probabilidad (imagina ver el mismo sistema funcionando a velocidad normal versus verlo en una película a cámara lenta).

Respecto a la suposición en sí, es una suposición que funciona lo suficientemente bien. Hay muchas discusiones sobre qué tan justificable es. Puedes comenzar aquí.