¿Cómo puedo probar formalmente que este conjunto no está conectado por ruta?

Question

Deje $\mathbb{R}^2$ con su habitual topología, vamos a $D$ el conjunto de todas las líneas que pasan por el origen, con racional de la pendiente. Y añadir a $D$ algún punto que no se encuentran en ninguna de las líneas ( llamar a este nuevo conjunto $X$). Por ejemplo, $(e,e 2^{1/2})$ es fácil demostrar que este conjunto está conectado desde entonces, todas las líneas están conectadas y la intersección es no vacía, entonces la unión también está conectado. Y cualquier juego que se encuentra entre el $D$ y su cierre también estará conectada, el cierre es de todos los $\mathbb{R}^2$ $X$ también está conectado. La pregunta es si este conjunto de sus rutas conectadas, pero yo no lo creo , sólo para geométricamente razones. Pero en general es difícil para mí, que esta afirmación )=. Si alguien me puede ayudar )=

Answer 1

Que $f$ ser una ruta empezando en el nuevo punto con coordenada funciones $f_1$ y $f_2$. Considere la función $\frac{f_2}{f_1}$, que comienza hacia fuera irracional y debe llegar a ser racional si el camino nunca llega a un elemento de $D$. Entre cualquier número irracional y racional, hay un número irracional, y se puede aplicar el teorema del valor intermedio a $\frac{f_2}{f_1}$.