Diffeomorfismos: Ejemplos e importancia

Question

¿Puede alguien dar un ejemplo específico de un difeomorfismo y también de la composición de una función con un difeomorfismo y cómo esto ayuda a las matemáticas en su conjunto? En otras palabras, ¿cómo encaja esto en el gran esquema de las matemáticas?

Gracias

Answer 1

Se construyen difeomorfismos entre el haz tangente unitario de $S^2$ , $SO_3$ y $\mathbb RP^3$ en este hilo: El haz de círculos de $S^2$ y el espacio proyectivo real

En un nivel más práctico, los difeomorfismos son el escenario en el que se tiene un teorema de cambio de variables para las integrales multivariables. http://en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_substitution#Substitution_for_multiple_variables

Otro lugar donde los difeomorfismos entran en escena es si tienes un campo vectorial $\vec v$ definido en un subconjunto abierto del espacio euclidiano, genera un flujo que es una familia de difeomorfismos de 1 parámetro. En cierto sentido, el proceso de "resolver" una EDO es el proceso de pasar del campo vectorial al flujo. Así, por ejemplo, esto lleva a la conexión de que un campo vectorial sin divergencia genera un flujo que preserva el área/volumen/contenido.

Answer 2

He aquí un ejemplo de la geometría de Riemann que ilustra cómo los difeomorfismos pueden desempeñar un papel crítico en un resultado importante de la geometría. En un artículo de Kazdan y Warner muestran que cualquier función suave en una variedad cerrada de dimensión 3 o superior puede ser una curvatura escalar de una métrica en la variedad, resolviendo la ecuación

$Lu=(K \cdot \phi) u^\frac{n+2}{n-2},$

donde $\phi$ es un difeomorfismo, $L$ es el laplaciano conforme, $K$ es una constante, y $n$ es la dimensión del colector. No se puede resolver

$Lu = f u^\frac{n+2}{n-2}$

en general $f$ en general, por lo que el difeomorfismo $\phi$ juegan un papel fundamental en la prueba.