¿Cómo muestro que dos variables aleatorias tienen la misma función de distribución acumulativa?

Question

Permita que$X$ sea una variable aleatoria en$\mathbb N_0$ y$Y$ una variable aleatoria distribuida uniformemente en$[0,1]$, independientemente de$X$. Ahora defina la variable aleatoria$$Z:=\inf\{n\in \mathbb N_0 : Y < \mathbb P(X \leq n)\}.$ $

¿Cómo puedo demostrar que el cdf de$X$ y$Z$ es el mismo? ¿O cómo abordo problemas como estos en general?

Answer 1

Lo que se quiere demostrar $$P[Z \leq k] = P[X \leq k] \quad \forall k \in \mathbb{N}_0$$

He aquí dos consejos. El evento

$$\inf \{n\in \mathbb{N}_0: Y < P(X \leq n)\} \leq k $$

es lo mismo que decir que existe un $n \leq k$ tal que $\{Y < P(X \leq n)\}$ que es equivalente a

$$ \bigcup_{n=1}^k \{Y \leq P(X\leq n)\}$$

La segunda sugerencia es usar la monotonía de $P(X \leq n)$. ¿La expresión anterior simplificar a algo más fácil?

Déjeme saber si usted necesita más ayuda.

Editar: Le habían pedido ayuda en la identificación de el truco para este tipo de problemas. Bien, el truco es eliminar el infimum y supremum por escrito en palabras lo que el evento realmente es. Si la frase "para todos" sube, usted puede esperar una intersección de eventos. Si usted escribe "para algunos" o "no existe", entonces se trata de una unión. A veces el complemento de evento puede ser más fácil trabajar con. Considere la posibilidad de la negación de cualquier declaración que había y la probabilidad es 1 menos que.

Otro truco útil es que $$X_i \leq a \quad \forall i\in A \iff \sup_{i\in A}X_i \leq a$$

$$X_i \geq a \quad \forall i\in A \iff \inf_{i\in A}X_i \geq a$$