La motivación para los diferentes fundamentos de las matemáticas

Question

He estado estudiando un libro de introducción a la teoría de conjuntos que utiliza la ZFC conjunto de axiomas, y que ha sido muy emocionante para construir y definir los números y de las operaciones en términos de conjuntos. Pero ahora he visto que hay otras alternativas a este enfoque para la construcción de las matemáticas como de las Nuevas Fundaciones (NF), la categoría de la teoría y de los demás.

Mi pregunta es, ¿cuál fue la motivación para buscar una alternativa para ZFC? ¿ZFC tiene alguna weakneses, que sirvió de motivación? Sé que hay algunos conceptos que no existen en ZFC como el conjunto universal o un conjunto que pertenece a sí mismo. Así que pensé que tal vez algunas ramas de las matemáticas necesita estos conceptos con el fin de desarrollar aún más, ¿es eso cierto?

Answer 1

Bien. Que depende de a quién podría pedir a este.

1. La teoría de conjuntos puede ser inconsistente. En particular, $\sf ZFC$ y su extensión por el gran cardenal axiomas. Es una cosa trivial, para sentirse seguro con estas teorías, y se necesita mucha práctica y tiempo hasta que entienda que $\sf ZFC$ es auto-evidente, en cierta medida, y [algunos] gran cardenal axiomas son un poco de auto-evidentes.

   Pero, por supuesto, podemos ser engañados. Los delincuentes se han conocido a parecer honesto, hasta que te deja con un montón de nada en sus manos. Es por eso que Nigeriano de regalías, va a tener un momento muy duro de correo electrónico de personas en todo el mundo.

   Si eso sucede, tenemos que preguntarnos de dónde reside el problema. Es en uno de los axiomas, o tal vez específicamente en la existencia de conjuntos infinitos? Será un poco más débil de la teoría de conjuntos (por ejemplo,$\sf ZC$) trabajo mejor, o tal vez tenemos que recurrir a la aritmética teorías para arreglar las cosas?

2. Nuestra comprensión de las cosas es generalmente en gran medida incompatibles,¹ pero nos gusta pensar en "tipos". Así que el trabajo dentro de las diferentes categorías cuando sea necesario, o trabajar con algún tipo de teoría o de otra. Un montón, y me refiero a un montón de gente va a temblar cuando se les pregunta cuáles son los elementos de $\pi$. O si o no $\frac13$ es un subconjunto de a $e$.

   Por supuesto, aquellos que tienen un firme entendimiento de esto saben que esta es una cuestión de aplicación, y esto es como preguntar si es o no el código de la máquina de una implementación de un algoritmo es la misma o diferente de otra. Pero la gente no piensa de esta manera, aunque en una forma de kinda.

   En lugar de eso, la gente se centra en las matemáticas, y que acaba de recordar (o más exactamente: no) que se pueden formalizar en términos de establecer dentro de la teoría de conjuntos.

3. $\sf ZFC$ es incompleta. Eso no suena como un gran problema. Pero es, en un sentido profundo. Podríamos mitad de esperar fundacional de la teoría y sean capaces de decidir todo tipo de cosas acerca de la matemática del universo. Lo suficiente, de manera más o preguntas que pueda tener puede ser respondida. De nuevo, aquellos que estudian los fundamentos tiempo suficiente debe darse cuenta de que este no es el objetivo de la fundacional de la teoría, pero es algo esperado.

   Y algunas personas se sienten muy incómodos con esta incompleto. Ellos también tienen un problema con la aritmética basada en fundamentos, ya que es una incompleta de la fundación también. Pero es cierto que en $\sf ZFC$ los incompletitud fenómeno son mucho más abiertas, y tan pronto como usted deje el término "contables" y entrar en el "innumerables", más o menos todo se vuelve abierto e independiente.

   Esto plantea un problema real. Imagino que la mitad de los analistas funcionales trabajaría en una teoría de conjuntos (es decir $V=L$), y la otra mitad en el otro ( $\sf ZFC+PFA$ ). Se podría crear alguna extraña discrepancias que eventualmente se desgarro el campo. Y lo mismo va para todo lo demás, excepto la teoría de conjuntos, cuya principal ocupación es la de estos diferentes axiomas.

Pero eso es sólo contar las tres huelgas en contra de $\sf ZFC$. Y no puedo en buena conciencia de terminar mi post como este. Así que vamos a equilibrar las cosas, ¿por qué $\sf ZFC$ es una buena base.

1. La teoría de conjuntos y, en particular, $\sf ZFC$ es bastante evidente. Cuando yo era una partida estudiante de la maestría, asistí a un curso por uno de los de la generación más grande matemático y le preguntó acerca de los axiomas de la $\sf ZFC$ y dijo que un buen fundamental de la teoría es uno de cuyos axiomas usted no se siente que usted está utilizando. Podría ser que estamos entrenados para pensar en la "teoría de las formas", pero también es cierto que los axiomas darle exactamente el poder expresivo para hablar de todo lo que te importa y no se preocupan por una implementación específica sobre otro (mirando a su manera, el Reemplazo de los axiomas!), que es bastante grande.

   Puede usted imaginar un universo matemático donde los reales construidos con Dedekind cortes y con secuencias de Cauchy son diferentes? (Los matemáticos mundos existe en otras fundaciones, por el camino, y al menos para mí, eso es raro.)

2. El punto anterior nos lleva exactamente a este argumento. Los seres humanos toman un resumen del algoritmo, para implementarlo en varios idiomas, en diferentes procesadores, el uso de diversas estructuras de datos y tipos. Pero el código y los datos de todas las convierten en señales electrónicas. Así que el trabajo con alto nivel de los objetos, como la $\Bbb N$$\Bbb R$, y la función de los espacios y así es en nuestros algoritmos. Y podemos convertir en señales electrónicas, o conjuntos de primera y estructuras de orden en este caso.

3. Nos gusta conjuntos más de lo que estamos dispuestos a admitir. Uno de los problemas de segundo orden, la lógica es que la lógica es incompleta.² Y si usted tiene un algoritmo para obtener una lista de reglas de inferencia, para verificar una prueba, entonces, hay afirmaciones que son verdaderas (válido) de que estas reglas de inferencia no puede demostrar. Así la prueba de la teoría es bastante insuficiente en este aspecto. Porque, al menos, la validez de las sentencias debe ser comprobable.

   Para que puedan, en su lugar, utilice una de primer orden a partir de la fundación para solucionar este problema. En vez de probar algo acerca de $\Bbb R$, se demuestra que $\sf ZFC$ demuestra que cosa acerca de $\Bbb R$; y esto lo podemos comprobar mecánicamente. Así que una opción es recurrir a algunos aritmética de la fundación. Pero esto provoca un problema diferente. No podemos "tomar objetos" más. No tenemos conjuntos de reales, o los anillos, o grupos. Así que cuando usted demostrar algo acerca de los grupos, no se puede decir "Vamos a $G$ ser un grupo abelian, a continuación, bla bla bla". Usted tiene que decir "La teoría de abelian grupos demuestra que bla bla bla".

   Y este es un gran problema, ya que pensamos acerca de las matemáticas en un sentido material. Los objetos existe en algún lugar. Ellos no son sólo axiomático consecuencias. Y la teoría de conjuntos, en particular, $\sf ZFC$ con su aplicación agnosticismo, nos proporciona los medios para hacer exactamente esto.

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_{Notas a pie de página.}

_{(1) Es $\Bbb N\subseteq\Bbb R$? A menudo, la respuesta es sí, muchas otras veces la respuesta es no. Y realmente depende de lo que quieras hacer, o cómo sobre todo el uso de estos dos objetos. Pero ya sabemos que el método puede ser reemplazado por el otro no nos preocupamos mucho. Pero es una pregunta concreta que tiene una buena respuesta, de cualquier manera, y explotamos. Y eso, en pocas palabras, un "global inconsistencia" en nuestro pensamiento.}

_{Se puede discutir sobre esto, pero va a ser además el punto.}

_{(2) Incompleta se entiende aquí en el sentido de la integridad teorema. Algo de cierto en cada modelo no necesita ser comprobada. Este es un tipo diferente de incompletitud que el mencionado anteriormente, en el $\sf ZFC$ es incompleta en el sentido de que no probar o refutar cada una de las declaraciones.}

Answer 2

Si usted está buscando motivación para seguir otras fundaciones, recomiendo el artículo "el Replanteamiento de la Teoría de conjuntos" por Tom Leinster: http://arxiv.org/pdf/1212.6543v1.pdf. En particular, le da un suave, bien motivados introducción a Lawvere de la Teoría Elemental de la Categoría de Conjuntos (ETCS).

Leinster menciona al menos dos denuncias. En primer lugar, en ZFC-estilo de la teoría de conjuntos, si usted ha estado trabajando a partir de los axiomas para definir todos los objetos, entonces será sensible a preguntas como "$7 \in \pi$?", porque cada objeto matemático es un conjunto, y todos los elementos de los conjuntos de conjuntos. Pero podríamos estar más cómodo con las fundaciones que no permiten estos tipos de preguntas, incluso si normalmente no nos moleste con ellos. (Por cierto, el punto anterior es a menudo llamado "[a alguien]'s paradox" pero yo se olvida de quién es.)

Otra queja es que los axiomas de ZFC no tienen mucho en común con el alto nivel de operaciones matemáticas que hacemos todo el tiempo, mientras que los axiomas descritos por Leinster son acerca de la composición y la igualdad de los mapas, etc.: los axiomas directamente describir el nivel superior manipulaciones. Tal vez de ver esto como una ventaja; tal vez no.

Answer 3

Sí. Categoría de la teoría es un ejemplo de una teoría que trasciende ZFC. Algunos otros ejemplos incluyen Hyperreals y Surreals. Hay muchos más.