Quiero factorizar %#% $ #%
He probado dos métodos, primero dejó $$x^6 − 10x^3 + 27$ y había convertida en una cuadrática pero las soluciones no son reales.
El segundo método que probé fue conseguir que para el % de forma $y=x^3 $pero sólo pude llegar cerca ($a^3+b^3+c^3-3abc$ pero que es realmente $(x^2)^3+(x)^3+3^3-3(x^2)(x)(3)$, cercano pero no exacto)
Me corro sin ideas, así que cualquier ayuda es apreciada.
Nota: sé que la respuesta es $x^6-8 x^3+27$ $, pero quiero saber cómo!
Me parece que en tu intento desde $a^3+b^3 + c^3 - 3abc$ intuitivamente llegó muy cerca, pero paró demasiado pronto.
$x^6 − 10x^3 + 27 = (x^2)^3 + (2x)^3 +(3)^3 - 3\cdot (x^2) (2x)(3) $
El resto supongo le puede decírnoslo.
Por supuesto esos trucos funcionan solo en algunos polinomios como el de tu pregunta (s).
He aquí cómo tengo el mismo factorización como @DietrichBurde:
También he pensado en el polinomio como un polinomio en $x^3$, pero no me desespero cuando llegué a la factorización $(x^3-(5+\sqrt{-2}\,)(x^3-(5-\sqrt{-2}\,)$, porque me di cuenta de que $5+\sqrt{-2}=(-1+\sqrt{-2}\,)^3$. (¿Cómo me doy cuenta de esto? Voy a revelar que en el final).
A continuación, cada uno de los factores individuales que he encontrado por medio de la fórmula cuadrática es una diferencia de cubos, de manera que, por ejemplo, el primero de estos tiene el factor de $x-(-1+\sqrt{-2}\,)=x+1-\sqrt{-2}$. El otro tiene un factor que es el conjugado de este, y el producto de estos dos factores lineales tiene coeficientes enteros, es decir, $$ (x+1-\sqrt{-2}\,)(x+1-\sqrt{-2}\, y)=x^2+2x+3\,, $$ y esto es necesariamente un factor de nuestra polinomio original. Ahora, el resto de cuarto grado polinomio claramente no tiene la más factorización, ya que si llamamos a $-1+\sqrt{-2}=\alpha$ y una primitiva raíz cúbica de la unidad $\omega$, entonces las raíces de la cuártica son, ciertamente,$\{\alpha\omega,\bar\alpha\omega,\alpha\bar\omega, \bar\alpha\bar\omega$, ya que el $\omega\in\mathbb Q(\sqrt{-3}\,)$, una completamente diferente campo de $\mathbb Q(\sqrt{-2}\,)$. Esto significa que las cuatro cantidades son un conjunto completo de los conjugados $\mathbb Q$, en otras palabras, no de menor grado $\mathbb Q$-polinomio puede tener uno de ellos como una raíz. Esto significa que Dietrich factorización es el final de la historia.
Sólo queda saber cómo vi que $5+\sqrt{-2}$ era un cubo en su anillo de enteros. Aquí, sabía que la aritmética, a saber, que el anillo único de la factorización, y cuando vi que nuestro número había norma $27$, yo sabía que tenía que ser el cubo de algo, un primer elemento, con la norma $3$ (a veces una unidad, pero la única unidades de $\pm1$, y esto podría ser absorbido por la raíz cúbica). Entonces era sólo una cuestión de experimentación para ver cuál de los números de la norma $3$ cubos para el número deseado.
Aquí es solución papel y lápiz por encima de la pregunta. @A Googler sólo prestar atención a $(x^2)^3+(ax)^3+b^3−3⋅x^2⋅ax⋅b=x^6+x^3(a^3−3ab)+b^3$ en vez de esto para cada pregunta de MPA no utilice solamente b y equivalen a la ecuación real. Todas las preguntas se pueden resolver de esta manera. Gracias a @lab bhattacharjee para dar la solución anterior. Es muy elegante pero no se notó.
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