Giros y semicorsiones en cintas en$\mathbb{R}^4$

Question

He oído que en un colector de dimensión cuatro o más, si uno toma una de dos dimensiones de la cinta y le da dos medio-giros (es decir. dos $180$-grado giros), es el mismo que si la cinta no tiene giros. Así, en $\mathbb{R}^3$, una cinta puede tener $z$ media giros donde $z \in \mathbb{Z}$ porque puede tener cualquier número de medios giros en cualquier dirección, mientras que en $\mathbb{R}^4$, que sólo puede tener $z$ media giros donde $z \in \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z}$.

No sé la teoría detrás de esto, y no parece evidente. ¿Alguien puede ofrecer una prueba o algo de intuición para este hecho?

Answer 1

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}$Consideran que el paralelo de la unidad de círculos en $\Reals^{3} \times \{0\} \subset \Reals^{4}$ parametrizadas por $$ c_{0}(u) = (\cos u, \sen u, 0, 0),\qquad c_{1}(u) = (\cos u, \sen u, 1, 0),\quad 0 \leq u \leq 2\pi, $$ y pensar en ellos como el límite de una torsión de la cinta. "Propina" al segundo, de manera que sólo dos puntos se encuentra en $\Reals^{3} \times \{0\}$. Deslice el centro de manera apropiada, entonces la punta de el círculo de vuelta en $\Reals^{3} \times \{0\}$, de modo que los dos círculos ahora están vinculados, por ejemplo, a través de \begin{align*} c(t, u) &= \bigl(t + \cos u, (1 - t)\sin u, 1 - t + t\sin u, \sqrt{2t(1 - t)}\sin u\bigr) \\ &= \bigl(t + \cos u, 0, 1 - t, 0\bigr) + \sin u\bigl(0, 1 - t, t, \sqrt{2t(1 - t)}\bigr),\quad 0 \leq t \leq 1, \end{align*} cuya imagen para cada una de las $t$ es un círculo unitario con centro en el $(t, 0, 1 - t, 0)$, y para el que $c(0, u) = c_{1}(u)$$c(1, u) = (1 + \cos u, 0, \sin u, 0)$.

La asignación de $H:[0, 1] \times [0, 2\pi] \times [0, 1] \to \Reals^{4}$ definido por $$ H_{t}(u, v) = (1 - v)c_{0}(u) + vc(t, u),\quad 0 \leq t \leq 1,\ 0 \leq u \leq 2\pi,\ 0 \leq v \leq 1 $$ es un buen homotopy a través de incrustaciones en el cilindro \begin{align*} H_{0}(u, v) &= (1 - v)c(0, u) + vc(0, u) \\ &= (\cos u, \sin u, v, 0) \end{align*} para la doble-trenzado de la cinta \begin{align*} H_{1}(u, v) &= (1 - v)c_{0}(u) + vc(1, u) \\ &= (v + \cos u, (1 - v)\sin u, v\sin u, 0). \end{align*} La animación muestra su proyección a $\Reals^{3}$.